Страница 76 номер 386, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение \(\sqrt{3 + \sqrt{2}} + \sqrt{2}\), сопряжённое знаменателю, и применим в знаменателе формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} &\frac{23}{\sqrt{3 + \sqrt{2}} - \sqrt{2}} = \frac{23(\sqrt{3 + \sqrt{2}} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3 + \sqrt{2}} - \sqrt{2})(\sqrt{3 + \sqrt{2}} + \sqrt{2})} = {} \\ &= \frac{23(\sqrt{3 + \sqrt{2}} + \sqrt{2})}{3 + \sqrt{2} - 2} = \frac{23(\sqrt{3 + \sqrt{2}} + \sqrt{2})}{1 + \sqrt{2}}. \end{aligned}\] В знаменателе осталось выражение \(1 + \sqrt{2}\). Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое ему выражение \(\sqrt{2} - 1\); поскольку \((1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 1\), получаем: \[\begin{aligned} &\frac{23(\sqrt{3 + \sqrt{2}} + \sqrt{2})}{1 + \sqrt{2}} = \frac{23(\sqrt{3 + \sqrt{2}} + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} = {} \\ &= 23(\sqrt{3 + \sqrt{2}} + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1). \end{aligned}\] Раскроем скобки. Числа \(3 + \sqrt{2}\) и 2 положительны, поэтому \(\sqrt{3 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{(3 + \sqrt{2}) \cdot 2} = \sqrt{6 + 2\sqrt{2}}\). Тогда: \[\begin{aligned} &23(\sqrt{3 + \sqrt{2}} + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = 23(\sqrt{3 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3 + \sqrt{2}} + 2 - \sqrt{2}) = {} \\ &= 23\sqrt{6 + 2\sqrt{2}} - 23\sqrt{3 + \sqrt{2}} + 46 - 23\sqrt{2}. \end{aligned}\]

Ответ: \(23\sqrt{6 + 2\sqrt{2}} - 23\sqrt{3 + \sqrt{2}} + 46 - 23\sqrt{2}\).