Страница 75 номер 377, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения: а) \((\sqrt{10} - 5)^2 + 10\sqrt{10}\); б) \((2 + \sqrt{7})^2 + (2 - \sqrt{7})^2\); в) \(\frac{1}{4 + \sqrt{15}} + \frac{1}{4 - \sqrt{15}}\).
а) \[\begin{aligned} &(\sqrt{10} - 5)^2 + 10\sqrt{10} = 10 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 5 + 25 + 10\sqrt{10} = {} \\ &= 10 - 10\sqrt{10} + 25 + 10\sqrt{10} = 35. \end{aligned}\]
б) \[(2 + \sqrt{7})^2 + (2 - \sqrt{7})^2 = 4 + 4\sqrt{7} + 7 + 4 - 4\sqrt{7} + 7 = 22.\]
в) \[\frac{1}{4 + \sqrt{15}} + \frac{1}{4 - \sqrt{15}} = \frac{4 - \sqrt{15} + 4 + \sqrt{15}}{(4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15})} = \frac{8}{16 - 15} = 8.\]
Ответ: а) 35; б) 22; в) 8.
Найдите значение выражения: а) \((\sqrt{10} - 5)^2 + 10\sqrt{10}\); б) \((2 + \sqrt{7})^2 + (2 - \sqrt{7})^2\); в) \(\frac{1}{4 + \sqrt{15}} + \frac{1}{4 - \sqrt{15}}\).
а) По формуле квадрата разности: \[\begin{aligned} &(\sqrt{10} - 5)^2 + 10\sqrt{10} = 10 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 5 + 25 + 10\sqrt{10} = {} \\ &= 10 - 10\sqrt{10} + 25 + 10\sqrt{10} = 35. \end{aligned}\]
б) По формулам квадрата суммы и квадрата разности: \[(2 + \sqrt{7})^2 + (2 - \sqrt{7})^2 = 4 + 4\sqrt{7} + 7 + 4 - 4\sqrt{7} + 7 = 22.\]
в) Общий знаменатель дробей — произведение сопряжённых выражений \(4 + \sqrt{15}\) и \(4 - \sqrt{15}\); его найдём по формуле разности квадратов: \[\frac{1}{4 + \sqrt{15}} + \frac{1}{4 - \sqrt{15}} = \frac{4 - \sqrt{15} + 4 + \sqrt{15}}{(4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15})} = \frac{8}{16 - 15} = 8.\]
Ответ: а) 35; б) 22; в) 8.
