Страница 75 номер 373, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Упростите выражение \(\sqrt{3 + \sqrt{13 + \sqrt{48}}}\).
\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\).
\(4\sqrt{3} = 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3}\) и \(13 = 1 + 12 = 1^2 + (2\sqrt{3})^2\), поэтому \[13 + \sqrt{48} = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = (1 + 2\sqrt{3})^2.\] Число \(1 + 2\sqrt{3}\) положительно, поэтому \(\sqrt{13 + \sqrt{48}} = \sqrt{(1 + 2\sqrt{3})^2} = |1 + 2\sqrt{3}| = 1 + 2\sqrt{3}\), и под внешним корнем получаем \(3 + 1 + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}\).
\(2\sqrt{3} = 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}\) и \(4 = 1 + 3 = 1^2 + (\sqrt{3})^2\), поэтому \[4 + 2\sqrt{3} = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (1 + \sqrt{3})^2.\] Число \(1 + \sqrt{3}\) положительно, поэтому \[\sqrt{3 + \sqrt{13 + \sqrt{48}}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2} = |1 + \sqrt{3}| = 1 + \sqrt{3}.\]
Ответ: \(1 + \sqrt{3}\).
Упростите выражение \(\sqrt{3 + \sqrt{13 + \sqrt{48}}}\).
Вынесем множитель из-под знака корня: \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\). Представим выражение \(13 + 4\sqrt{3}\) в виде квадрата. Заметим, что \(4\sqrt{3} = 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3}\) и \(13 = 1 + 12 = 1^2 + (2\sqrt{3})^2\). Тогда: \[13 + \sqrt{48} = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = (1 + 2\sqrt{3})^2.\] Число \(1 + 2\sqrt{3}\) положительно, поэтому \(\sqrt{13 + \sqrt{48}} = \sqrt{(1 + 2\sqrt{3})^2} = |1 + 2\sqrt{3}| = 1 + 2\sqrt{3}\), и под внешним корнем получаем \(3 + 1 + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}\). Это выражение тоже представим в виде квадрата: \(2\sqrt{3} = 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}\) и \(4 = 1 + 3 = 1^2 + (\sqrt{3})^2\), поэтому \[4 + 2\sqrt{3} = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (1 + \sqrt{3})^2.\] Число \(1 + \sqrt{3}\) положительно. Следовательно, \[\sqrt{3 + \sqrt{13 + \sqrt{48}}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2} = |1 + \sqrt{3}| = 1 + \sqrt{3}.\]
Ответ: \(1 + \sqrt{3}\).
