Страница 75 номер 371, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сравните: а) \(\sqrt{8} - \sqrt{6}\) и \(2 - \sqrt{3}\); б) \(\sqrt{\sqrt{6 + \sqrt{20}}}\) и \(\sqrt{1 + \sqrt{5}}\).
а) \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\) и \(\sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}\) (числа 3 и 2 положительны), поэтому \(\sqrt{8} - \sqrt{6} = 2\sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}(2 - \sqrt{3})\).
Поскольку \(3 < 4\), получаем \(\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2\), поэтому число \(2 - \sqrt{3}\) положительно и деление на него знак сравнения не меняет: \[\begin{aligned} \sqrt{8} - \sqrt{6} &\vee 2 - \sqrt{3}; \\ \sqrt{2}(2 - \sqrt{3}) &\vee 2 - \sqrt{3}; \qquad | : (2 - \sqrt{3}) \\ \sqrt{2} &\vee 1. \end{aligned}\] Поскольку \(2 > 1\), получаем \(\sqrt{2} > \sqrt{1} = 1\). Следовательно, \(\sqrt{8} - \sqrt{6} > 2 - \sqrt{3}\).
б) \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\).
\(2\sqrt{5} = 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5}\) и \(6 = 1 + 5 = 1^2 + (\sqrt{5})^2\), поэтому \(6 + \sqrt{20} = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (1 + \sqrt{5})^2\).
Число \(1 + \sqrt{5}\) положительно, поэтому \[\sqrt{6 + \sqrt{20}} = \sqrt{(1 + \sqrt{5})^2} = |1 + \sqrt{5}| = 1 + \sqrt{5}.\] Следовательно, \(\sqrt{\sqrt{6 + \sqrt{20}}} = \sqrt{1 + \sqrt{5}}\): значения выражений равны.
Ответ: а) \(\sqrt{8} - \sqrt{6} > 2 - \sqrt{3}\); б) \(\sqrt{\sqrt{6 + \sqrt{20}}} = \sqrt{1 + \sqrt{5}}\).
Сравните: а) \(\sqrt{8} - \sqrt{6}\) и \(2 - \sqrt{3}\); б) \(\sqrt{\sqrt{6 + \sqrt{20}}}\) и \(\sqrt{1 + \sqrt{5}}\).
а) Вынесем множитель из-под знака корня и запишем \(\sqrt{6}\) как произведение корней из положительных чисел 3 и 2: \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\) и \(\sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}\), поэтому \(\sqrt{8} - \sqrt{6} = 2\sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}(2 - \sqrt{3})\). Число \(2 - \sqrt{3}\) положительно, так как \(3 < 4\) и, значит, \(\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2\). Деление обеих частей на положительное число знак сравнения не меняет: \[\begin{aligned} \sqrt{8} - \sqrt{6} &\vee 2 - \sqrt{3}; \\ \sqrt{2}(2 - \sqrt{3}) &\vee 2 - \sqrt{3}; \qquad | : (2 - \sqrt{3}) \\ \sqrt{2} &\vee 1. \end{aligned}\] Поскольку \(2 > 1\), получаем \(\sqrt{2} > \sqrt{1} = 1\). Следовательно, \(\sqrt{8} - \sqrt{6} > 2 - \sqrt{3}\).
б) Вынесем множитель из-под знака корня: \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\). Заметим, что \(2\sqrt{5} = 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5}\) и \(6 = 1 + 5 = 1^2 + (\sqrt{5})^2\). Тогда \(6 + \sqrt{20} = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (1 + \sqrt{5})^2\). Число \(1 + \sqrt{5}\) положительно, поэтому \[\sqrt{6 + \sqrt{20}} = \sqrt{(1 + \sqrt{5})^2} = |1 + \sqrt{5}| = 1 + \sqrt{5}.\] Следовательно, \(\sqrt{\sqrt{6 + \sqrt{20}}} = \sqrt{1 + \sqrt{5}}\): значения выражений равны.
Ответ: а) \(\sqrt{8} - \sqrt{6} > 2 - \sqrt{3}\); б) \(\sqrt{\sqrt{6 + \sqrt{20}}} = \sqrt{1 + \sqrt{5}}\).
