Страница 75 номер 370, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Упростите выражение: а) \(\sqrt{20 + 8\sqrt{4 - m} - m}\); б) \(\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}}\).
а) Выражение \(\sqrt{4 - m}\) имеет смысл при \(4 - m \geqslant 0\), то есть при \(m \leqslant 4\); при таких \(m\) верно \((\sqrt{4 - m})^2 = 4 - m\).
\(8\sqrt{4 - m} = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 - m}\) и \(20 - m = 16 + (4 - m) = 4^2 + (\sqrt{4 - m})^2\), поэтому \[20 + 8\sqrt{4 - m} - m = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 - m} + (\sqrt{4 - m})^2 = (4 + \sqrt{4 - m})^2.\] Выражение \(4 + \sqrt{4 - m}\) положительно, поэтому \[\sqrt{20 + 8\sqrt{4 - m} - m} = \sqrt{(4 + \sqrt{4 - m})^2} = |4 + \sqrt{4 - m}| = 4 + \sqrt{4 - m}.\]
б) Освободимся от внешних корней по формулам для \(\sqrt{a + \sqrt{b}}\) и \(\sqrt{a - \sqrt{b}}\): здесь \(a = 4\) и \(b = 7\) — неотрицательные числа и \(a^2 - b = 16 - 7 = 9 = 3^2\) — квадрат рационального числа, поэтому \[\begin{aligned} \sqrt{4 + \sqrt{7}} &= \sqrt{\frac{4 + 3}{2}} + \sqrt{\frac{4 - 3}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}; \\ \sqrt{4 - \sqrt{7}} &= \sqrt{\frac{4 + 3}{2}} - \sqrt{\frac{4 - 3}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}. \end{aligned}\] \(2\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{2}\), поэтому \[\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}} = \sqrt{\frac{7}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{7}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}.\]
Ответ: а) \(4 + \sqrt{4 - m}\); б) \(\sqrt{2}\).
Упростите выражение: а) \(\sqrt{20 + 8\sqrt{4 - m} - m}\); б) \(\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}}\).
а) Выражение \(\sqrt{4 - m}\) имеет смысл при \(4 - m \geqslant 0\), то есть при \(m \leqslant 4\); при таких \(m\) верно \((\sqrt{4 - m})^2 = 4 - m\). Попробуем представить подкоренное выражение в виде квадрата. Заметим, что \(8\sqrt{4 - m} = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 - m}\) и \(20 - m = 16 + (4 - m) = 4^2 + (\sqrt{4 - m})^2\). Тогда: \[20 + 8\sqrt{4 - m} - m = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 - m} + (\sqrt{4 - m})^2 = (4 + \sqrt{4 - m})^2.\] Выражение \(4 + \sqrt{4 - m}\) положительно, поэтому \[\sqrt{20 + 8\sqrt{4 - m} - m} = \sqrt{(4 + \sqrt{4 - m})^2} = |4 + \sqrt{4 - m}| = 4 + \sqrt{4 - m}.\]
б) Для освобождения от внешнего корня в выражениях \(\sqrt{4 + \sqrt{7}}\) и \(\sqrt{4 - \sqrt{7}}\) воспользуемся формулами: если числа \(a\) и \(b\) неотрицательны и разность \(a^2 - b\) равна квадрату рационального числа, то \[\begin{aligned} \sqrt{a + \sqrt{b}} &= \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}, \\ \sqrt{a - \sqrt{b}} &= \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}. \end{aligned}\] Здесь \(a = 4\) и \(b = 7\) — неотрицательные числа, и \(a^2 - b = 16 - 7 = 9 = 3^2\). Поэтому \[\begin{aligned} \sqrt{4 + \sqrt{7}} &= \sqrt{\frac{4 + 3}{2}} + \sqrt{\frac{4 - 3}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}; \\ \sqrt{4 - \sqrt{7}} &= \sqrt{\frac{4 + 3}{2}} - \sqrt{\frac{4 - 3}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}. \end{aligned}\] Внесём множитель 2 под знак корня: \(2\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{2}\). Тогда: \[\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}} = \sqrt{\frac{7}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{7}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}.\]
Ответ: а) \(4 + \sqrt{4 - m}\); б) \(\sqrt{2}\).
