Страница 75 номер 369, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Вынесите множитель из-под знака корня в выражении \(\sqrt{k^2 + \frac{k^4t^4}{r^2}}\), если \(k < 0\).
Выражение имеет смысл при \(r \ne 0\). \[k^2 + \frac{k^4t^4}{r^2} = k^2\left(1 + \frac{k^2t^4}{r^2}\right).\] Оба множителя неотрицательны: \(k^2 \geqslant 0\), а \(1 + \frac{k^2t^4}{r^2} > 0\), так как дробь \(\frac{k^2t^4}{r^2}\) неотрицательна (её числитель — произведение чётных степеней, а знаменатель \(r^2\) положителен). По условию \(k < 0\), поэтому \(\sqrt{k^2} = |k| = -k\). \[\begin{aligned} &\sqrt{k^2 + \frac{k^4t^4}{r^2}} = \sqrt{k^2} \cdot \sqrt{1 + \frac{k^2t^4}{r^2}} = {} \\ &= |k|\sqrt{1 + \frac{k^2t^4}{r^2}} = -k\sqrt{1 + \frac{k^2t^4}{r^2}}. \end{aligned}\]
Ответ: \(-k\sqrt{1 + \frac{k^2t^4}{r^2}}\).
Вынесите множитель из-под знака корня в выражении \(\sqrt{k^2 + \frac{k^4t^4}{r^2}}\), если \(k < 0\).
Выражение имеет смысл при \(r \ne 0\). Вынесем за скобки множитель \(k^2\): \[k^2 + \frac{k^4t^4}{r^2} = k^2\left(1 + \frac{k^2t^4}{r^2}\right).\] Оба множителя неотрицательны: \(k^2 \geqslant 0\), а \(1 + \frac{k^2t^4}{r^2} > 0\), так как дробь \(\frac{k^2t^4}{r^2}\) неотрицательна (её числитель — произведение чётных степеней, а знаменатель \(r^2\) положителен). Поэтому корень из произведения равен произведению корней. Кроме того, \(\sqrt{k^2} = |k|\), а по условию \(k < 0\), значит, \(|k| = -k\). Следовательно, \[\begin{aligned} &\sqrt{k^2 + \frac{k^4t^4}{r^2}} = \sqrt{k^2} \cdot \sqrt{1 + \frac{k^2t^4}{r^2}} = {} \\ &= |k|\sqrt{1 + \frac{k^2t^4}{r^2}} = -k\sqrt{1 + \frac{k^2t^4}{r^2}}. \end{aligned}\]
Ответ: \(-k\sqrt{1 + \frac{k^2t^4}{r^2}}\).
