Страница 74 номер 367, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) \(\frac{1}{3\sqrt{5} - 5\sqrt{3}}\); б) \(\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1}\).
а) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}\) — оно положительно, а значит, не равно нулю: \[\begin{aligned} &\frac{1}{3\sqrt{5} - 5\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{(3\sqrt{5} - 5\sqrt{3})(3\sqrt{5} + 5\sqrt{3})} = {} \\ &= \frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{(3\sqrt{5})^2 - (5\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{9 \cdot 5 - 25 \cdot 3} = -\frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{30}. \end{aligned}\]
б) Запишем знаменатель в виде суммы \(\sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1)\) и умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{3} - (\sqrt{2} - 1)\). Оно не равно нулю: \(\sqrt{3} > \sqrt{2}\), поэтому \(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1 > 0\). \[\begin{aligned} &\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{3} - (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1))(\sqrt{3} - (\sqrt{2} - 1))} = {} \\ &= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1}{3 - (2 - 2\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2}}. \end{aligned}\] В знаменателе остался корень — умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \[\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1) \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - 2 + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2}{4}.\]
Ответ: а) \(-\frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{30}\); б) \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2}{4}\).
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) \(\frac{1}{3\sqrt{5} - 5\sqrt{3}}\); б) \(\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1}\).
а) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение \(3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}\), сопряжённое знаменателю (оно положительно, а значит, не равно нулю), и воспользуемся формулой разности квадратов; отрицательный знаменатель запишем минусом перед дробью: \[\begin{aligned} &\frac{1}{3\sqrt{5} - 5\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{(3\sqrt{5} - 5\sqrt{3})(3\sqrt{5} + 5\sqrt{3})} = {} \\ &= \frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{(3\sqrt{5})^2 - (5\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{9 \cdot 5 - 25 \cdot 3} = -\frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{30}. \end{aligned}\]
б) Запишем знаменатель в виде суммы \(\sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1)\) и умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое ему выражение \(\sqrt{3} - (\sqrt{2} - 1)\). Оно не равно нулю: \(\sqrt{3} > \sqrt{2}\), поэтому \(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1 > 0\). Знаменатель найдём по формуле разности квадратов, а \((\sqrt{2} - 1)^2\) — по формуле квадрата разности: \[\begin{aligned} &\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{3} - (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1))(\sqrt{3} - (\sqrt{2} - 1))} = {} \\ &= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1}{3 - (2 - 2\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2}}. \end{aligned}\] В знаменателе остался корень. Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \[\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1) \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - 2 + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2}{4}.\]
Ответ: а) \(-\frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{30}\); б) \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2}{4}\).
