Страница 74 номер 366, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Упростите выражение \(\sqrt{4x^4 - 16x^2 + 16}\).
\(4x^4 - 16x^2 + 16 = 4(x^4 - 4x^2 + 4)\).
\(x^4 - 4x^2 + 4 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2 + 2^2 = (x^2 - 2)^2\).
Число 4 и выражение \((x^2 - 2)^2\) неотрицательны, поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt{4x^4 - 16x^2 + 16} = \sqrt{4(x^2 - 2)^2} = {} \\ &= \sqrt{4} \cdot \sqrt{(x^2 - 2)^2} = 2|x^2 - 2|. \end{aligned}\] Знак модуля убрать нельзя: при \(x = 0\) выражение \(x^2 - 2\) отрицательно, а при \(x = 2\) — положительно.
Ответ: \(2|x^2 - 2|\).
Упростите выражение \(\sqrt{4x^4 - 16x^2 + 16}\).
Вынесем в подкоренном выражении множитель 4 за скобки: \(4x^4 - 16x^2 + 16 = 4(x^4 - 4x^2 + 4)\). В скобках стоит квадрат разности: \(x^4 - 4x^2 + 4 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2 + 2^2 = (x^2 - 2)^2\). Число 4 и выражение \((x^2 - 2)^2\) неотрицательны, поэтому корень из их произведения равен произведению корней, а \(\sqrt{(x^2 - 2)^2} = |x^2 - 2|\): \[\begin{aligned} &\sqrt{4x^4 - 16x^2 + 16} = \sqrt{4(x^2 - 2)^2} = {} \\ &= \sqrt{4} \cdot \sqrt{(x^2 - 2)^2} = 2|x^2 - 2|. \end{aligned}\] Знак модуля убрать нельзя: при \(x = 0\) выражение \(x^2 - 2\) отрицательно, а при \(x = 2\) — положительно.
Ответ: \(2|x^2 - 2|\).
