Страница 74 номер 363, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Между какими последовательными целыми числами находится число: а) \(7 + \sqrt{41}\); б) \(\sqrt{15} + \sqrt{34}\)?
а) Числа 36, 41 и 49 неотрицательны и \(36 < 41 < 49\), поэтому \(\sqrt{36} < \sqrt{41} < \sqrt{49}\), то есть \(6 < \sqrt{41} < 7\). \[\begin{aligned} 6 &< \sqrt{41} < 7; \qquad | +7 \\ 13 &< 7 + \sqrt{41} < 14. \end{aligned}\] Значит, число \(7 + \sqrt{41}\) находится между последовательными целыми числами 13 и 14.
б) Поскольку \(3^2 = 9 < 15 < 16 = 4^2\) и \(5^2 = 25 < 34 < 36 = 6^2\) (все числа неотрицательны), получаем \(3 < \sqrt{15} < 4\) и \(5 < \sqrt{34} < 6\). Сложим неравенства почленно: \[8 < \sqrt{15} + \sqrt{34} < 10.\] Числа 8 и 10 не являются последовательными, поэтому сравним сумму с числом 9.
Числа \(3{,}5\) и \(5{,}5\) положительны, \(3{,}5^2 = 12{,}25 < 15\) и \(5{,}5^2 = 30{,}25 < 34\), поэтому \(3{,}5 = \sqrt{12{,}25} < \sqrt{15}\) и \(5{,}5 = \sqrt{30{,}25} < \sqrt{34}\). Сложив эти неравенства, получаем \(9 < \sqrt{15} + \sqrt{34}\).
Следовательно, \(9 < \sqrt{15} + \sqrt{34} < 10\), то есть число \(\sqrt{15} + \sqrt{34}\) находится между последовательными целыми числами 9 и 10.
Ответ: а) 13 и 14; б) 9 и 10.
Между какими последовательными целыми числами находится число: а) \(7 + \sqrt{41}\); б) \(\sqrt{15} + \sqrt{34}\)?
а) Числа 36, 41 и 49 неотрицательны и \(36 < 41 < 49\), а большему неотрицательному числу соответствует больший арифметический корень, поэтому \(\sqrt{36} < \sqrt{41} < \sqrt{49}\), то есть \(6 < \sqrt{41} < 7\). Прибавим 7 к каждой части двойного неравенства: \[\begin{aligned} 6 &< \sqrt{41} < 7; \qquad | +7 \\ 13 &< 7 + \sqrt{41} < 14. \end{aligned}\] Значит, число \(7 + \sqrt{41}\) находится между последовательными целыми числами 13 и 14.
б) Поскольку \(3^2 = 9 < 15 < 16 = 4^2\) и \(5^2 = 25 < 34 < 36 = 6^2\), а большему неотрицательному числу соответствует больший арифметический корень, получаем \(3 < \sqrt{15} < 4\) и \(5 < \sqrt{34} < 6\). Неравенства одного знака можно почленно складывать, поэтому \[8 < \sqrt{15} + \sqrt{34} < 10.\] Числа 8 и 10 не являются последовательными, поэтому сравним число \(\sqrt{15} + \sqrt{34}\) с числом 9. Для этого сравним \(\sqrt{15}\) с числом \(3{,}5\), а \(\sqrt{34}\) — с числом \(5{,}5\). Числа \(3{,}5\) и \(5{,}5\) положительны, \(3{,}5^2 = 12{,}25\) и \(5{,}5^2 = 30{,}25\); поскольку \(12{,}25 < 15\) и \(30{,}25 < 34\), получаем \(3{,}5 = \sqrt{12{,}25} < \sqrt{15}\) и \(5{,}5 = \sqrt{30{,}25} < \sqrt{34}\). Сложив неравенства \(3{,}5 < \sqrt{15}\) и \(5{,}5 < \sqrt{34}\), получаем \(9 < \sqrt{15} + \sqrt{34}\). Следовательно, \(9 < \sqrt{15} + \sqrt{34} < 10\), то есть число \(\sqrt{15} + \sqrt{34}\) находится между последовательными целыми числами 9 и 10.
Ответ: а) 13 и 14; б) 9 и 10.
