Страница 74 номер 356, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выберите выражения, которые будут иметь рациональные значения, если \(a = \sqrt{48}\), \(b = \sqrt{3}\): 1) \(a - b\); 2) \(a + b\); 3) \(ab\); 4) \(\frac{a}{b}\).
\(a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
Число 3 не является точным квадратом (\(1^2 < 3 < 2^2\)), поэтому \(\sqrt{3}\) — иррациональное число.
1) \(a - b = 4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\) — произведение ненулевого рационального числа 3 и иррационального числа \(\sqrt{3}\), поэтому значение выражения \(a - b\) иррационально.
2) \(a + b = 4\sqrt{3} + \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\) — произведение ненулевого рационального числа 5 и иррационального числа \(\sqrt{3}\), поэтому значение выражения \(a + b\) иррационально.
3) Числа 48 и 3 неотрицательны, поэтому \(ab = \sqrt{48} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{48 \cdot 3} = \sqrt{144} = 12\) — рациональное число.
4) Число 48 неотрицательно, а число 3 положительно, поэтому \(\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4\) — рациональное число.
Ответ: рациональные значения имеют выражения 3) \(ab = 12\) и 4) \(\frac{a}{b} = 4\).
Выберите выражения, которые будут иметь рациональные значения, если \(a = \sqrt{48}\), \(b = \sqrt{3}\): 1) \(a - b\); 2) \(a + b\); 3) \(ab\); 4) \(\frac{a}{b}\).
Вынесем множитель из-под знака корня: \(a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\). Число 3 не является точным квадратом (\(1^2 < 3 < 2^2\)), поэтому \(\sqrt{3}\) — иррациональное число.
1) \(a - b = 4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\). Произведение ненулевого рационального числа 3 и иррационального числа \(\sqrt{3}\) иррационально, поэтому значение выражения \(a - b\) иррационально.
2) \(a + b = 4\sqrt{3} + \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\) — произведение ненулевого рационального числа 5 и иррационального числа \(\sqrt{3}\), поэтому значение выражения \(a + b\) иррационально.
3) Числа 48 и 3 неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения: \(ab = \sqrt{48} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{48 \cdot 3} = \sqrt{144} = 12\) — рациональное число.
4) Число 48 неотрицательно, а число 3 положительно, поэтому частное корней равно корню из частного: \(\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4\) — рациональное число.
Ответ: рациональные значения имеют выражения 3) \(ab = 12\) и 4) \(\frac{a}{b} = 4\).
