Страница 74 номер 355, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Какие из равенств и утверждений являются верными: 1) \(\sqrt{4} = 16\); 2) \(\sqrt{81} = \pm 9\); 3) \(\sqrt{49} = 7\); 4) уравнение \(x^2 = 4\) имеет корни \(-2\) и \(2\); 5) уравнение \(x^2 = 25\) имеет единственный корень 5?
1) \(\sqrt{4} = 2\), так как \(2 > 0\) и \(2^2 = 4\). Число 16 — квадрат числа 4, а не корень из него. Равенство 1) неверно.
2) \(\sqrt{81} = 9\), так как \(9 > 0\) и \(9^2 = 81\). Запись \(\pm 9\) обозначает два числа: 9 и \(-9\). Число \(-9\) отрицательно и арифметическим квадратным корнем быть не может, хотя \((-9)^2 = 81\). Равенство 2) неверно.
3) \(7 > 0\) и \(7^2 = 49\), поэтому \(\sqrt{49} = 7\). Равенство 3) верно.
4) \[\begin{aligned} x^2 - 4 &= 0; \\ (x + 2)(x - 2) &= 0. \end{aligned}\] \(x = -2\) или \(x = 2\). Уравнение имеет ровно два корня: \(-2\) и 2. Утверждение 4) верно.
5) \(x^2 - 25 = 0\);
\((x + 5)(x - 5) = 0\), откуда \(x = -5\) или \(x = 5\). Кроме числа 5, корнем уравнения является и число \(-5\): \((-5)^2 = 25\). Корень не единственный, утверждение 5) неверно.
Ответ: верны 3) \(\sqrt{49} = 7\) и 4) уравнение \(x^2 = 4\) имеет корни \(-2\) и 2.
Какие из равенств и утверждений являются верными: 1) \(\sqrt{4} = 16\); 2) \(\sqrt{81} = \pm 9\); 3) \(\sqrt{49} = 7\); 4) уравнение \(x^2 = 4\) имеет корни \(-2\) и \(2\); 5) уравнение \(x^2 = 25\) имеет единственный корень 5?
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа \(a\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\); такое число единственно.
1) \(\sqrt{4} = 2\), так как \(2 > 0\) и \(2^2 = 4\). Число 16 не равно 2: это квадрат числа 4, а не корень из него. Равенство 1) неверно.
2) \(\sqrt{81} = 9\), так как \(9 > 0\) и \(9^2 = 81\). Запись \(\pm 9\) обозначает два числа: 9 и \(-9\). Хотя \((-9)^2 = 81\), число \(-9\) отрицательно и арифметическим квадратным корнем быть не может, а \(\sqrt{81}\) — одно число. Равенство 2) неверно.
3) \(7 > 0\) и \(7^2 = 49\), поэтому \(\sqrt{49} = 7\). Равенство 3) верно.
4) Перенесём 4 в левую часть уравнения \(x^2 = 4\) и воспользуемся формулой разности квадратов: \[\begin{aligned} x^2 - 4 &= 0; \\ (x + 2)(x - 2) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому \(x = -2\) или \(x = 2\). Уравнение имеет ровно два корня: \(-2\) и 2. Утверждение 4) верно.
5) Перенесём 25 в левую часть уравнения \(x^2 = 25\) и разложим левую часть на множители: \(x^2 - 25 = 0\);
\((x + 5)(x - 5) = 0\), откуда \(x = -5\) или \(x = 5\). Кроме числа 5, корнем уравнения является и число \(-5\): \((-5)^2 = 25\). Корень не единственный, утверждение 5) неверно.
Ответ: верны 3) \(\sqrt{49} = 7\) и 4) уравнение \(x^2 = 4\) имеет корни \(-2\) и 2.
