Страница 73 номер 348, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Определим знаки подкоренных выражений. Поскольку \(3 < 4\), получаем \(\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2\). Значит, \(2 - \sqrt{3} > 0\) и \(2 + \sqrt{3} < 2 + 2 = 4\). Числа \(2 + \sqrt{3}\) и 4 неотрицательны, поэтому \(\sqrt{2 + \sqrt{3}} < \sqrt{4} = 2\), то есть \(2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}} > 0\). Выражения \(2 + \sqrt{3}\) и \(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}\) положительны как суммы положительных чисел. Все подкоренные выражения положительны, поэтому произведение корней можно заменить корнем из произведения подкоренных выражений, а квадрат корня равен подкоренному выражению.

Перемножим второй и третий множители, применив формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} &\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = {} \\ &= \sqrt{\left(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)\left(2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)} = {} \\ &= \sqrt{2^2 - \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{4 - (2 + \sqrt{3})} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}. \end{aligned}\] Тогда левая часть доказываемого равенства преобразуется так: \[\begin{aligned} &\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = {} \\ &= \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = {} \\ &= \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1. \end{aligned}\] Равенство доказано.

Ответ: равенство \(\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = 1\) доказано.