Страница 73 номер 345, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Все слагаемые правой части положительны, поэтому число \(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}\) положительно. Найдём его квадрат. Запишем это число как сумму \((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}\) и воспользуемся формулой квадрата суммы; произведения корней из неотрицательных чисел заменим корнями из произведений: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}\), \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{10}\), \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15}\): \[\begin{aligned} &(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{2} + \sqrt{3})\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = {} \\ &= 2 + 2\sqrt{6} + 3 + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} + 5 = {} \\ &= 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}. \end{aligned}\] Внесём множитель 2 под знак корня: \(2\sqrt{6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}\), \(2\sqrt{10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}\), \(2\sqrt{15} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{60}\). Значит, подкоренное выражение левой части является квадратом: \[10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2.\] При любом значении \(a\) выполняется равенство \(\sqrt{a^2} = |a|\), а модуль положительного числа равен самому числу. Следовательно, \[\begin{aligned} &\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2} = {} \\ &= |\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}| = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}. \end{aligned}\] Равенство доказано.

Ответ: равенство \(\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}\) доказано.