Страница 73 номер 342, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Оба подкоренных выражения положительны: \(2 + \sqrt{3} > 0\), а \(2 - \sqrt{3} > 0\), так как \(3 < 4\) и поэтому \(\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2\). Значит, квадрат каждого из корней равен подкоренному выражению: \(\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}}\right)^2 = 2 - \sqrt{3}\) и \(\left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^2 = 2 + \sqrt{3}\), а произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы, а под корнем применим формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} &\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^2 = {} \\ &= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} + 2 + \sqrt{3} = {} \\ &= 4 + 2\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = 4 + 2\sqrt{4 - 3} = 4 + 2 \cdot 1 = 6. \end{aligned}\]

б) Вынесем множитель из-под знака корня: \(\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}\). Квадрат разности раскроем по формуле: \[\begin{aligned} &(6 - \sqrt{5})^2 + 3\sqrt{80} = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 + 3 \cdot 4\sqrt{5} = {} \\ &= 36 - 12\sqrt{5} + 5 + 12\sqrt{5} = 41. \end{aligned}\]

Ответ: а) 6; б) 41.