Страница 16 номер 34, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Какое из множеств является пустым множеством: 1) \([-10; 4) \cap (-5; +\infty)\); 2) \((-\infty; 15] \cap (13; 14)\); 3) \([3; 4) \cap [8; 15]\)?
1) Каждое число \(x\), большее \(-5\), больше и \(-10\): из \(-10 < -5\) и \(-5 < x\) следует \(-10 < x\).
Поэтому пересечение составляют числа, для которых \(-5 < x < 4\): \([-10; 4) \cap (-5; +\infty) = (-5; 4)\).
Концы в пересечение не входят: \(-5 \notin (-5; +\infty)\) и \(4 \notin [-10; 4)\) — при этих числах круглые скобки.
Но пересечение не пусто: например, ему принадлежит число 0, так как \(-5 < 0 < 4\).
2) Каждое число \(x\) интервала \((13; 14)\) меньше 15: из \(x < 14\) и \(14 < 15\) следует \(x < 15\), а значит, верно и \(x \leqslant 15\).
Поэтому \((13; 14) \subset (-\infty; 15]\) и \((-\infty; 15] \cap (13; 14) = (13; 14)\). Пересечение не пусто: например, ему принадлежит число \(13{,}5\).
3) Каждое число \(x\) полуинтервала \([3; 4)\) меньше 8: из \(x < 4\) и \(4 < 8\) следует \(x < 8\).
Поэтому ни одно число полуинтервала \([3; 4)\) не принадлежит отрезку \([8; 15]\): \([3; 4) \cap [8; 15] = \varnothing\).
Ответ: пустым является множество 3) \([3; 4) \cap [8; 15]\).
Какое из множеств является пустым множеством: 1) \([-10; 4) \cap (-5; +\infty)\); 2) \((-\infty; 15] \cap (13; 14)\); 3) \([3; 4) \cap [8; 15]\)?
Пересечение пусто, если у промежутков нет ни одного общего числа.
1) Полуинтервал \([-10; 4)\) — это числа, для которых \(-10 \leqslant x < 4\), а луч \((-5; +\infty)\) — числа, для которых \(x > -5\). Каждое число \(x\), большее \(-5\), больше и \(-10\): из \(-10 < -5\) и \(-5 < x\) следует \(-10 < x\). Поэтому пересечение составляют числа, для которых \(-5 < x < 4\): \([-10; 4) \cap (-5; +\infty) = (-5; 4)\). Оба конца в пересечение не входят: \(-5 \notin (-5; +\infty)\) и \(4 \notin [-10; 4)\) — при этих числах круглые скобки. Но само пересечение не пусто: например, ему принадлежит число 0, так как \(-5 < 0 < 4\).
2) Каждое число \(x\) интервала \((13; 14)\) меньше 15: из \(x < 14\) и \(14 < 15\) следует \(x < 15\), а значит, верно и нестрогое неравенство \(x \leqslant 15\). Поэтому \((13; 14) \subset (-\infty; 15]\), и пересечение — это сам интервал: \((-\infty; 15] \cap (13; 14) = (13; 14)\). Оно не пусто: например, ему принадлежит число \(13{,}5\).
3) Полуинтервал \([3; 4)\) — это числа, для которых \(3 \leqslant x < 4\), а отрезок \([8; 15]\) — числа, для которых \(8 \leqslant x \leqslant 15\). Каждое число \(x\) полуинтервала \([3; 4)\) меньше 8: из \(x < 4\) и \(4 < 8\) следует \(x < 8\) (4 — разделяющее число). Поэтому ни одно число полуинтервала \([3; 4)\) не принадлежит отрезку \([8; 15]\), общих чисел у промежутков нет: \([3; 4) \cap [8; 15] = \varnothing\).
Ответ: пустым является множество 3) \([3; 4) \cap [8; 15]\).
