Страница 70 номер 325, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
На какое из чисел нужно умножить \(\sqrt{2} + 15\), чтобы получить рациональное число: 1) \(-\sqrt{2} - 3\); 2) \(\sqrt{5} + \sqrt{2}\); 3) \(\sqrt{2} - 15\)?
Числа \(\sqrt{2} + 15\) и \(\sqrt{2} - 15\) являются сопряжёнными, значит, их произведение рационально. \[\begin{aligned} (\sqrt{2} + 15) \cdot (\sqrt{2} - 15) &= (\sqrt{2})^2 - 15^2 = 2 - 225 = -223; \\ (\sqrt{2} + 15) \cdot (-\sqrt{2} - 3) &= -2 - 3\sqrt{2} - 15\sqrt{2} - 45 = -47 - 18\sqrt{2}; \\ (\sqrt{2} + 15) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2}) &= \sqrt{10} + 2 + 15\sqrt{5} + 15\sqrt{2}. \end{aligned}\]
Число 2 лежит между квадратами соседних натуральных чисел: \(1^2 < 2 < 2^2\), поэтому \(\sqrt{2}\) — иррациональное число. Число \(18\sqrt{2}\) — произведение ненулевого рационального числа 18 и иррационального числа \(\sqrt{2}\), поэтому оно иррационально, а разность \(-47 - 18\sqrt{2}\) рационального и иррационального чисел тоже иррациональна.
Числа 10, 5 и 2 различны и не делятся на квадрат натурального числа, отличного от 1, поэтому алгебраическая сумма \(\sqrt{10} + 15\sqrt{5} + 15\sqrt{2}\) их корней, взятых с ненулевыми рациональными коэффициентами, иррациональна. Прибавив к ней рациональное число 2, снова получим иррациональное число.
Каждое из двух последних произведений иррационально, следовательно, подходит только число \(\sqrt{2} - 15\).
Ответ: на число 3) \(\sqrt{2} - 15\).
На какое из чисел нужно умножить \(\sqrt{2} + 15\), чтобы получить рациональное число: 1) \(-\sqrt{2} - 3\); 2) \(\sqrt{5} + \sqrt{2}\); 3) \(\sqrt{2} - 15\)?
Числа \(\sqrt{2} + 15\) и \(\sqrt{2} - 15\) являются сопряжёнными, значит, их произведение рационально. Действительно, по формуле разности квадратов \[(\sqrt{2} + 15) \cdot (\sqrt{2} - 15) = (\sqrt{2})^2 - 15^2 = 2 - 225 = -223.\]
Убедимся, что два других числа не подходят: \[\begin{aligned} (\sqrt{2} + 15) \cdot (-\sqrt{2} - 3) &= -2 - 3\sqrt{2} - 15\sqrt{2} - 45 = -47 - 18\sqrt{2}; \\ (\sqrt{2} + 15) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2}) &= \sqrt{10} + 2 + 15\sqrt{5} + 15\sqrt{2}. \end{aligned}\]
Число 2 лежит между квадратами соседних натуральных чисел: \(1^2 < 2 < 2^2\), поэтому \(\sqrt{2}\) — иррациональное число. Число \(18\sqrt{2}\) — произведение ненулевого рационального числа 18 и иррационального числа \(\sqrt{2}\), поэтому оно иррационально, а разность \(-47 - 18\sqrt{2}\) рационального и иррационального чисел тоже иррациональна.
Числа 10, 5 и 2 различны и не делятся на квадрат натурального числа, отличного от 1, поэтому алгебраическая сумма \(\sqrt{10} + 15\sqrt{5} + 15\sqrt{2}\) их корней, взятых с ненулевыми рациональными коэффициентами, иррациональна. Прибавив к ней рациональное число 2, снова получим иррациональное число.
Каждое из двух последних произведений иррационально, следовательно, подходит только число \(\sqrt{2} - 15\).
Ответ: на число 3) \(\sqrt{2} - 15\).
