Страница 70 номер 324, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выберите два иррациональных числа, сумма которых является рациональной: 1) \(\sqrt{2} - \sqrt{7}\); 2) \(-\sqrt{2} - \sqrt{7}\); 3) \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\); 4) \(\sqrt{2} + 7\).
Числа 2 и 7 лежат между квадратами соседних натуральных чисел: \(1^2 < 2 < 2^2\), \(2^2 < 7 < 3^2\), поэтому они не являются точными квадратами и \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) — иррациональные числа.
\[\begin{aligned} (\sqrt{2} - \sqrt{7}) + (-\sqrt{2} - \sqrt{7}) &= -2\sqrt{7}; \\ (\sqrt{2} - \sqrt{7}) + (\sqrt{7} - \sqrt{2}) &= 0; \\ (\sqrt{2} - \sqrt{7}) + (\sqrt{2} + 7) &= 2\sqrt{2} - \sqrt{7} + 7; \\ (-\sqrt{2} - \sqrt{7}) + (\sqrt{7} - \sqrt{2}) &= -2\sqrt{2}; \\ (-\sqrt{2} - \sqrt{7}) + (\sqrt{2} + 7) &= 7 - \sqrt{7}; \\ (\sqrt{7} - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} + 7) &= \sqrt{7} + 7. \end{aligned}\]
Суммы \(-2\sqrt{7}\) и \(-2\sqrt{2}\) — произведения ненулевого рационального числа \(-2\) и иррациональных чисел, поэтому они иррациональны. Суммы \(7 - \sqrt{7}\) и \(\sqrt{7} + 7\) — разность и сумма рационального и иррационального чисел, поэтому они иррациональны. Числа 2 и 7 различны и не делятся на квадрат натурального числа, отличного от 1, поэтому алгебраическая сумма их корней, взятых с ненулевыми рациональными коэффициентами, иррациональна. Значит, число \(2\sqrt{2} - \sqrt{7}\) иррационально, а сумма \(2\sqrt{2} - \sqrt{7} + 7\) иррационального и рационального чисел тоже иррациональна.
Рациональна только одна сумма, равная 0. Её слагаемые \(\sqrt{2} - \sqrt{7}\) и \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\) — тоже алгебраические суммы корней из 2 и 7 с ненулевыми рациональными коэффициентами 1 и \(-1\), поэтому оба числа иррациональны. Искомая пара — числа \(\sqrt{2} - \sqrt{7}\) и \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\).
Ответ: 1) \(\sqrt{2} - \sqrt{7}\) и 3) \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\).
Выберите два иррациональных числа, сумма которых является рациональной: 1) \(\sqrt{2} - \sqrt{7}\); 2) \(-\sqrt{2} - \sqrt{7}\); 3) \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\); 4) \(\sqrt{2} + 7\).
Числа 2 и 7 лежат между квадратами соседних натуральных чисел: \(1^2 < 2 < 2^2\), \(2^2 < 7 < 3^2\), поэтому они не являются точными квадратами и \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) — иррациональные числа.
Вычислим попарные суммы данных чисел: \[\begin{aligned} (\sqrt{2} - \sqrt{7}) + (-\sqrt{2} - \sqrt{7}) &= -2\sqrt{7}; \\ (\sqrt{2} - \sqrt{7}) + (\sqrt{7} - \sqrt{2}) &= 0; \\ (\sqrt{2} - \sqrt{7}) + (\sqrt{2} + 7) &= 2\sqrt{2} - \sqrt{7} + 7; \\ (-\sqrt{2} - \sqrt{7}) + (\sqrt{7} - \sqrt{2}) &= -2\sqrt{2}; \\ (-\sqrt{2} - \sqrt{7}) + (\sqrt{2} + 7) &= 7 - \sqrt{7}; \\ (\sqrt{7} - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} + 7) &= \sqrt{7} + 7. \end{aligned}\]
Суммы \(-2\sqrt{7}\) и \(-2\sqrt{2}\) — произведения ненулевого рационального числа \(-2\) и иррациональных чисел, поэтому они иррациональны. Суммы \(7 - \sqrt{7}\) и \(\sqrt{7} + 7\) — разность и сумма рационального и иррационального чисел, поэтому они иррациональны. Числа 2 и 7 различны и не делятся на квадрат натурального числа, отличного от 1, поэтому алгебраическая сумма их корней, взятых с ненулевыми рациональными коэффициентами, иррациональна. Значит, число \(2\sqrt{2} - \sqrt{7}\) иррационально, а сумма \(2\sqrt{2} - \sqrt{7} + 7\) иррационального и рационального чисел тоже иррациональна.
Рациональна только одна сумма, равная 0. Её слагаемые \(\sqrt{2} - \sqrt{7}\) и \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\) — тоже алгебраические суммы корней из 2 и 7 с ненулевыми рациональными коэффициентами 1 и \(-1\), поэтому оба числа иррациональны. Искомая пара — числа \(\sqrt{2} - \sqrt{7}\) и \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\).
Ответ: 1) \(\sqrt{2} - \sqrt{7}\) и 3) \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\).
