Страница 70 номер 321, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Укажите числа, дающие в сумме с \(\sqrt{11} + 9\) рациональное число: 1) \(\sqrt{11} - 9\); 2) \(\sqrt{11} + 8\); 3) \(\sqrt{15} - \sqrt{11}\); 4) \(6 - \sqrt{11}\).
Число 11 лежит между квадратами соседних натуральных чисел: \(3^2 < 11 < 4^2\), поэтому оно не является точным квадратом и \(\sqrt{11}\) — иррациональное число. Число 15 тоже лежит между \(3^2\) и \(4^2\), поэтому \(\sqrt{15}\) — иррациональное число.
\[\begin{aligned} (\sqrt{11} + 9) + (\sqrt{11} - 9) &= 2\sqrt{11}; \\ (\sqrt{11} + 9) + (\sqrt{11} + 8) &= 2\sqrt{11} + 17; \\ (\sqrt{11} + 9) + (\sqrt{15} - \sqrt{11}) &= \sqrt{15} + 9; \\ (\sqrt{11} + 9) + (6 - \sqrt{11}) &= 15. \end{aligned}\]
Первая сумма \(2\sqrt{11}\) — произведение ненулевого рационального числа 2 и иррационального числа \(\sqrt{11}\), поэтому она иррациональна. Вторая сумма — сумма иррационального числа \(2\sqrt{11}\) и рационального числа 17, третья — сумма иррационального числа \(\sqrt{15}\) и рационального числа 9; обе иррациональны. Рациональна только четвёртая сумма, равная 15.
Ответ: рациональное число в сумме с \(\sqrt{11} + 9\) даёт только число 4) \(6 - \sqrt{11}\).
Укажите числа, дающие в сумме с \(\sqrt{11} + 9\) рациональное число: 1) \(\sqrt{11} - 9\); 2) \(\sqrt{11} + 8\); 3) \(\sqrt{15} - \sqrt{11}\); 4) \(6 - \sqrt{11}\).
Число 11 лежит между квадратами соседних натуральных чисел: \(3^2 < 11 < 4^2\), поэтому оно не является точным квадратом и \(\sqrt{11}\) — иррациональное число. Число 15 тоже лежит между \(3^2\) и \(4^2\), поэтому \(\sqrt{15}\) — иррациональное число.
Найдём сумму числа \(\sqrt{11} + 9\) с каждым из данных чисел: \[\begin{aligned} (\sqrt{11} + 9) + (\sqrt{11} - 9) &= 2\sqrt{11}; \\ (\sqrt{11} + 9) + (\sqrt{11} + 8) &= 2\sqrt{11} + 17; \\ (\sqrt{11} + 9) + (\sqrt{15} - \sqrt{11}) &= \sqrt{15} + 9; \\ (\sqrt{11} + 9) + (6 - \sqrt{11}) &= 15. \end{aligned}\]
Первая сумма \(2\sqrt{11}\) — произведение ненулевого рационального числа 2 и иррационального числа \(\sqrt{11}\), поэтому она иррациональна. Вторая сумма — сумма иррационального числа \(2\sqrt{11}\) и рационального числа 17, третья — сумма иррационального числа \(\sqrt{15}\) и рационального числа 9; обе иррациональны. Рациональна только четвёртая сумма, равная 15.
Ответ: рациональное число в сумме с \(\sqrt{11} + 9\) даёт только число 4) \(6 - \sqrt{11}\).
