Страница 70 номер 320, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Приведите пример иррационального числа вида \(\sqrt{n}\) (\(n\) — натуральное), принадлежащего отрезку \([4; 8]\).
Числа 4 и 8 положительны, \(4^2 = 16\) и \(8^2 = 64\), поэтому \(4 = \sqrt{16}\) и \(8 = \sqrt{64}\).
Возьмём \(n = 17\). Число 17 лежит между квадратами соседних натуральных чисел: \(4^2 < 17 < 5^2\), поэтому оно не является точным квадратом и \(\sqrt{17}\) — иррациональное число.
Кроме того, \(16 < 17 < 64\), поэтому \(\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{64}\), то есть \(4 < \sqrt{17} < 8\), и число \(\sqrt{17}\) принадлежит отрезку \([4; 8]\).
Ответ: например, \(\sqrt{17}\).
Приведите пример иррационального числа вида \(\sqrt{n}\) (\(n\) — натуральное), принадлежащего отрезку \([4; 8]\).
Числа 4 и 8 положительны, \(4^2 = 16\) и \(8^2 = 64\), поэтому \(4 = \sqrt{16}\) и \(8 = \sqrt{64}\). Из двух арифметических квадратных корней из неотрицательных чисел больше тот, у которого больше подкоренное число. Поэтому для натуральных \(n\) от 16 до 64 выполняется \(\sqrt{16} \leqslant \sqrt{n} \leqslant \sqrt{64}\), то есть \(4 \leqslant \sqrt{n} \leqslant 8\), и число \(\sqrt{n}\) принадлежит отрезку \([4; 8]\).
Число \(\sqrt{n}\) иррационально, если натуральное число \(n\) не является точным квадратом. Среди чисел от 16 до 64 точные квадраты — это \(16 = 4^2\), \(25 = 5^2\), \(36 = 6^2\), \(49 = 7^2\) и \(64 = 8^2\); любое другое натуральное число этого промежутка подходит.
Возьмём \(n = 17\). Число 17 лежит между квадратами соседних натуральных чисел: \(4^2 < 17 < 5^2\), поэтому оно не является точным квадратом и \(\sqrt{17}\) — иррациональное число. Кроме того, \(16 < 17 < 64\), поэтому \(\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{64}\), то есть \(4 < \sqrt{17} < 8\), и число \(\sqrt{17}\) принадлежит отрезку \([4; 8]\).
Ответ: например, \(\sqrt{17}\).
