Страница 69 номер 317, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Решим каждое уравнение: перенесём число из правой части в левую и разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) \(x^2 - 9 = 0\);
\((x + 3)(x - 3) = 0\);
\(x = -3\) или \(x = 3\). Оба корня — целые числа, а значит, рациональные.

2) \(x^2 - 25 = 0\);
\((x + 5)(x - 5) = 0\);
\(x = -5\) или \(x = 5\). Оба корня — целые числа, а значит, рациональные.

3) \(x^2 - 6 = 0\);
\(x^2 - (\sqrt{6})^2 = 0\);
\((x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6}) = 0\);
\(x = -\sqrt{6}\) или \(x = \sqrt{6}\). Число 6 лежит между квадратами соседних натуральных чисел: \(2^2 < 6 < 3^2\), поэтому оно не является точным квадратом и \(\sqrt{6}\) — иррациональное число. Число \(-\sqrt{6} = (-1) \cdot \sqrt{6}\) — произведение ненулевого рационального числа \(-1\) и иррационального числа \(\sqrt{6}\), поэтому оно тоже иррационально. Уравнение \(x^2 = 6\) рациональных корней не имеет.

Ответ: рациональные корни имеют уравнения 1) \(x^2 = 9\) и 2) \(x^2 = 25\).