Страница 65 номер 312, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \(\frac{14 - 8x}{9} < 0\); б) \(\frac{x}{6} + \frac{x}{3} \ge -9\).
а) \[\begin{aligned} \frac{14 - 8x}{9} &< 0; \qquad | \cdot 9 \\ 14 - 8x &< 0; \\ -8x &< -14. \qquad | : (-8) \end{aligned}\] Разделим обе части на отрицательное число \(-8\), знак меняется на противоположный: \[\begin{aligned} x &> \frac{14}{8}; \\ x &> 1{,}75. \end{aligned}\] Значит, решения неравенства — все числа из промежутка \((1{,}75; +\infty)\).
б) \[\begin{aligned} \frac{x}{6} + \frac{x}{3} &\geqslant -9; \qquad | \cdot 6 \\ 6 \cdot \frac{x}{6} + 6 \cdot \frac{x}{3} &\geqslant 6 \cdot (-9); \\ x + 2x &\geqslant -54; \\ 3x &\geqslant -54; \qquad | : 3 \\ x &\geqslant -18. \end{aligned}\] Значит, решения неравенства — все числа из промежутка \([-18; +\infty)\).
Ответ: а) \((1{,}75; +\infty)\); б) \([-18; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \(\frac{14 - 8x}{9} < 0\); б) \(\frac{x}{6} + \frac{x}{3} \ge -9\).
а) Умножим обе части неравенства на положительное число 9, знак неравенства при этом сохраняется. Затем перенесём число 14 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный: \[\begin{aligned} \frac{14 - 8x}{9} &< 0; \qquad | \cdot 9 \\ 14 - 8x &< 0; \\ -8x &< -14. \qquad | : (-8) \end{aligned}\] Разделим обе части неравенства на отрицательное число \(-8\), изменив знак неравенства на противоположный; частное двух отрицательных чисел положительно: \[\begin{aligned} x &> \frac{14}{8}; \\ x &> 1{,}75. \end{aligned}\] Значит, решениями неравенства являются все числа из промежутка \((1{,}75; +\infty)\).
б) Умножим обе части неравенства на положительное число 6 — общий знаменатель дробей; знак неравенства при этом сохраняется. Затем приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} \frac{x}{6} + \frac{x}{3} &\geqslant -9; \qquad | \cdot 6 \\ 6 \cdot \frac{x}{6} + 6 \cdot \frac{x}{3} &\geqslant 6 \cdot (-9); \\ x + 2x &\geqslant -54; \\ 3x &\geqslant -54. \qquad | : 3 \end{aligned}\] Разделим обе части неравенства на положительное число 3, знак неравенства при этом сохраняется: \[x \geqslant -18.\] Значит, решениями неравенства являются все числа из промежутка \([-18; +\infty)\).
Ответ: а) \((1{,}75; +\infty)\); б) \([-18; +\infty)\).
