Страница 16 номер 30, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Знак объединения или пересечения нужно подставить между промежутками \((-10; 5)\) и \([-14; -2)\), чтобы получилось множество \((-10; -2)\)?
Числа, для которых \(-10 < x < -2\), принадлежат обоим промежуткам: из \(-14 < -10\) и \(-10 < x\) следует \(-14 < x\), а из \(x < -2\) и \(-2 < 5\) следует \(x < 5\).
Числа, не большие \(-10\), не принадлежат интервалу \((-10; 5)\), а числа, не меньшие \(-2\), — полуинтервалу \([-14; -2)\).
Концы \(-10\) и \(-2\) в пересечение не входят: \(-10 \notin (-10; 5)\) и \(-2 \notin [-14; -2)\) — при этих числах круглые скобки.
Значит, \((-10; 5) \cap [-14; -2) = (-10; -2)\) — это и есть данное множество.
Числа, для которых \(-14 \leqslant x < -2\), принадлежат полуинтервалу \([-14; -2)\), а число \(-2\) и все числа, большие \(-2\) и меньшие 5, — интервалу \((-10; 5)\): они больше \(-10\), потому что \(-10 < -2\).
Число \(x\), меньшее \(-14\), меньше и \(-10\), а число, не меньшее 5, больше \(-2\), поэтому такие числа не принадлежат ни одному из промежутков.
Конец \(-14\) входит в объединение, так как \(-14 \in [-14; -2)\), а конец 5 — нет: \(5 \notin (-10; 5)\) и \(5 \notin [-14; -2)\).
Значит, \((-10; 5) \cup [-14; -2) = [-14; 5)\) — это множество не совпадает с \((-10; -2)\): например, число 0 принадлежит объединению, но не принадлежит интервалу \((-10; -2)\).
Ответ: нужен знак пересечения: \((-10; 5) \cap [-14; -2) = (-10; -2)\).
Знак объединения или пересечения нужно подставить между промежутками \((-10; 5)\) и \([-14; -2)\), чтобы получилось множество \((-10; -2)\)?
Изобразим оба промежутка на одной числовой прямой:
Интервал \((-10; 5)\) — это числа, для которых \(-10 < x < 5\), а полуинтервал \([-14; -2)\) — числа, для которых \(-14 \leqslant x < -2\).
Пересечение состоит из чисел, принадлежащих каждому из промежутков. Каждое число \(x\), для которого \(-10 < x < -2\), принадлежит обоим: из \(-14 < -10\) и \(-10 < x\) следует \(-14 < x\), а из \(x < -2\) и \(-2 < 5\) следует \(x < 5\). Числа, не большие \(-10\), не принадлежат интервалу \((-10; 5)\), а числа, не меньшие \(-2\), не принадлежат полуинтервалу \([-14; -2)\). В частности, концы \(-10\) и \(-2\) в пересечение не входят: \(-10 \notin (-10; 5)\) и \(-2 \notin [-14; -2)\) — при этих числах круглые скобки. Значит, \((-10; 5) \cap [-14; -2) = (-10; -2)\) — это и есть данное множество.
Объединение состоит из чисел, принадлежащих хотя бы одному из промежутков. Каждое число, для которого \(-14 \leqslant x < -2\), принадлежит полуинтервалу \([-14; -2)\). Число \(-2\) и все числа, большие \(-2\) и меньшие 5, принадлежат интервалу \((-10; 5)\): они больше \(-10\), потому что \(-10 < -2\). Число \(x\), меньшее \(-14\), меньше и \(-10\), а число, не меньшее 5, больше \(-2\), поэтому такие числа не принадлежат ни одному из промежутков. Конец \(-14\) входит в объединение, так как \(-14 \in [-14; -2)\), а конец 5 — нет: \(5 \notin (-10; 5)\) и \(5 \notin [-14; -2)\). Значит, \((-10; 5) \cup [-14; -2) = [-14; 5)\). Это множество не совпадает с \((-10; -2)\): например, число 0 принадлежит объединению, но не принадлежит интервалу \((-10; -2)\).
Ответ: нужен знак пересечения: \((-10; 5) \cap [-14; -2) = (-10; -2)\).
