Страница 16 номер 29, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Какое из множеств является пустым множеством: 1) \((-\infty; -3] \cap [-6; 16)\); 2) \((-13; 13) \cap (-11; -3]\); 3) \((-\infty; -4) \cap [1; +\infty)\)?
1) Каждое число, не большее \(-3\), меньше 16: число \(-3\) меньше 16, а если \(x < -3\), то из \(x < -3\) и \(-3 < 16\) следует \(x < 16\).
Поэтому пересечение составляют числа, для которых \(-6 \leqslant x \leqslant -3\): \((-\infty; -3] \cap [-6; 16) = [-6; -3]\).
Оба конца входят в каждый из промежутков: \(-6 \leqslant -3\) и \(-6 \leqslant -6 < 16\);
\(-3 \leqslant -3\) и \(-6 \leqslant -3 < 16\). Пересечение не пусто.
2) Каждое число \(x\) полуинтервала \((-11; -3]\) принадлежит интервалу \((-13; 13)\): из \(-13 < -11\) и \(-11 < x\) следует \(-13 < x\); число \(-3\) меньше 13, и каждое число, меньшее \(-3\), тоже меньше 13.
Значит, \((-11; -3] \subset (-13; 13)\) и \((-13; 13) \cap (-11; -3] = (-11; -3]\). Пересечение не пусто: например, ему принадлежит число \(-3\).
3) Каждое число \(x\) луча \((-\infty; -4)\) меньше 1: из \(x < -4\) и \(-4 < 1\) следует \(x < 1\).
Поэтому ни одно число луча \((-\infty; -4)\) не принадлежит лучу \([1; +\infty)\): \((-\infty; -4) \cap [1; +\infty) = \varnothing\).
Ответ: пустым является множество 3) \((-\infty; -4) \cap [1; +\infty)\).
Какое из множеств является пустым множеством: 1) \((-\infty; -3] \cap [-6; 16)\); 2) \((-13; 13) \cap (-11; -3]\); 3) \((-\infty; -4) \cap [1; +\infty)\)?
Пересечение пусто, если у промежутков нет ни одного общего числа.
1) Луч \((-\infty; -3]\) — это числа, для которых \(x \leqslant -3\), а полуинтервал \([-6; 16)\) — числа, для которых \(-6 \leqslant x < 16\). Каждое число, не большее \(-3\), меньше 16: само число \(-3\) меньше 16, а если \(x < -3\), то из \(x < -3\) и \(-3 < 16\) следует \(x < 16\). Поэтому пересечение составляют числа, для которых \(-6 \leqslant x \leqslant -3\): \((-\infty; -3] \cap [-6; 16) = [-6; -3]\). Оба конца входят в каждый из промежутков: \(-6 \leqslant -3\) и \(-6 \leqslant -6 < 16\);
\(-3 \leqslant -3\) и \(-6 \leqslant -3 < 16\). Пересечение не пусто.
2) Каждое число \(x\) полуинтервала \((-11; -3]\) принадлежит интервалу \((-13; 13)\): из \(-13 < -11\) и \(-11 < x\) следует \(-13 < x\); число \(-3\) меньше 13, и каждое число, меньшее \(-3\), тоже меньше 13 (\(-3\) — разделяющее число). Значит, \((-11; -3] \subset (-13; 13)\), и пересечение — это сам полуинтервал: \((-13; 13) \cap (-11; -3] = (-11; -3]\). Оно не пусто: например, ему принадлежит число \(-3\).
3) Луч \((-\infty; -4)\) — это числа, для которых \(x < -4\), а луч \([1; +\infty)\) — числа, для которых \(x \geqslant 1\). Каждое число \(x\) луча \((-\infty; -4)\) меньше 1: из \(x < -4\) и \(-4 < 1\) следует \(x < 1\) (\(-4\) — разделяющее число). Поэтому ни одно число луча \((-\infty; -4)\) не принадлежит лучу \([1; +\infty)\), общих чисел у лучей нет: \((-\infty; -4) \cap [1; +\infty) = \varnothing\).
Ответ: пустым является множество 3) \((-\infty; -4) \cap [1; +\infty)\).
