Страница 60 номер 287, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните умножение и в ответе запишите многочлен в стандартном виде: а) \((a^6 + 2a^4 - 1) \cdot (a^6 - 2a^4 - 1)\); б) \((a - 2) \cdot (a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16)\).
а) \(a^6 + 2a^4 - 1 = (a^6 - 1) + 2a^4\), \(a^6 - 2a^4 - 1 = (a^6 - 1) - 2a^4\): \[\begin{aligned} &(a^6 + 2a^4 - 1) \cdot (a^6 - 2a^4 - 1) = (a^6 - 1)^2 - (2a^4)^2 = {} \\ &= a^{12} - 2a^6 + 1 - 4a^8 = a^{12} - 4a^8 - 2a^6 + 1. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &(a - 2) \cdot (a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16) = {} \\ &= a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 16a - 2a^4 - 4a^3 - 8a^2 - 16a - 32 = {} \\ &= a^5 - 32. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(a^{12} - 4a^8 - 2a^6 + 1\); б) \(a^5 - 32\).
Выполните умножение и в ответе запишите многочлен в стандартном виде: а) \((a^6 + 2a^4 - 1) \cdot (a^6 - 2a^4 - 1)\); б) \((a - 2) \cdot (a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16)\).
а) Первый множитель — сумма выражений \(a^6 - 1\) и \(2a^4\), второй — их разность: \(a^6 + 2a^4 - 1 = (a^6 - 1) + 2a^4\), \(a^6 - 2a^4 - 1 = (a^6 - 1) - 2a^4\). Произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений; \((a^6 - 1)^2\) раскроем по формуле квадрата разности: \[\begin{aligned} &(a^6 + 2a^4 - 1) \cdot (a^6 - 2a^4 - 1) = (a^6 - 1)^2 - (2a^4)^2 = {} \\ &= a^{12} - 2a^6 + 1 - 4a^8 = a^{12} - 4a^8 - 2a^6 + 1. \end{aligned}\]
б) Умножим каждый член двучлена на каждый член многочлена. Все слагаемые, кроме \(a^5\) и \(-32\), попарно противоположны и в сумме дают нуль: \[\begin{aligned} &(a - 2) \cdot (a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16) = {} \\ &= a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 16a - 2a^4 - 4a^3 - 8a^2 - 16a - 32 = {} \\ &= a^5 - 32. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(a^{12} - 4a^8 - 2a^6 + 1\); б) \(a^5 - 32\).
