Страница 60 номер 271, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Преобразуйте выражение \(\sqrt{\frac{4x^{10}}{y^{14}}}\) при \(x \le 0\), \(y < 0\).
Числитель \(4x^{10}\) неотрицателен, так как \(x^{10} = (x^5)^2 \geqslant 0\); знаменатель \(y^{14}\) положителен как чётная степень числа \(y \ne 0\). Поэтому \[\sqrt{\frac{4x^{10}}{y^{14}}} = \frac{\sqrt{4x^{10}}}{\sqrt{y^{14}}} = \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt{x^{10}}}{\sqrt{y^{14}}} = \frac{2|x^5|}{|y^7|}.\]
\(\sqrt{x^{10}} = \sqrt{(|x^5|)^2} = |x^5|\); показатель 5 нечётный: при \(x \leqslant 0\) получаем \(x^5 \leqslant 0\), поэтому \(|x^5| = -x^5\).
\(\sqrt{y^{14}} = \sqrt{(|y^7|)^2} = |y^7|\); показатель 7 нечётный: при \(y < 0\) получаем \(y^7 < 0\), поэтому \(|y^7| = -y^7\).
Следовательно, \[\sqrt{\frac{4x^{10}}{y^{14}}} = \frac{2 \cdot (-x^5)}{-y^7} = \frac{2x^5}{y^7}.\]
Ответ: \(\frac{2x^5}{y^7}\).
Преобразуйте выражение \(\sqrt{\frac{4x^{10}}{y^{14}}}\) при \(x \le 0\), \(y < 0\).
Числитель \(4x^{10}\) неотрицателен, так как \(x^{10} = (x^5)^2 \geqslant 0\). Знаменатель \(y^{14}\) положителен: это чётная степень числа \(y\), а \(y \ne 0\). Поэтому корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя, а корень из произведения неотрицательных множителей 4 и \(x^{10}\) равен произведению их корней: \[\sqrt{\frac{4x^{10}}{y^{14}}} = \frac{\sqrt{4x^{10}}}{\sqrt{y^{14}}} = \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt{x^{10}}}{\sqrt{y^{14}}} = \frac{2|x^5|}{|y^7|}.\] Здесь \(\sqrt{x^{10}} = \sqrt{(|x^5|)^2} = |x^5|\) и \(\sqrt{y^{14}} = \sqrt{(|y^7|)^2} = |y^7|\). Показатели 5 и 7 нечётные, а нечётная степень неположительного числа неположительна, отрицательного — отрицательна. При \(x \leqslant 0\) получаем \(x^5 \leqslant 0\), поэтому \(|x^5| = -x^5\); при \(y < 0\) получаем \(y^7 < 0\), поэтому \(|y^7| = -y^7\). Следовательно, \[\sqrt{\frac{4x^{10}}{y^{14}}} = \frac{2 \cdot (-x^5)}{-y^7} = \frac{2x^5}{y^7}.\]
Ответ: \(\frac{2x^5}{y^7}\).
