Страница 60 номер 267, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Преобразуйте выражение \(\sqrt{\frac{81y^{10}}{x^{14}}}\) при \(x < 0\), \(y < 0\).
При \(x < 0\) и \(y < 0\) числитель \(81y^{10}\) и знаменатель \(x^{14}\) положительны (чётные степени), поэтому \[\sqrt{\frac{81y^{10}}{x^{14}}} = \frac{\sqrt{81y^{10}}}{\sqrt{x^{14}}} = \frac{\sqrt{81} \cdot \sqrt{y^{10}}}{\sqrt{x^{14}}} = \frac{9|y^5|}{|x^7|}.\]
\(y^5 < 0\) и \(x^7 < 0\) (нечётные степени отрицательных чисел), значит, \(|y^5| = -y^5\) и \(|x^7| = -x^7\), откуда \[\frac{9|y^5|}{|x^7|} = \frac{9 \cdot (-y^5)}{-x^7} = \frac{9y^5}{x^7}.\]
Ответ: \(\frac{9y^5}{x^7}\).
Преобразуйте выражение \(\sqrt{\frac{81y^{10}}{x^{14}}}\) при \(x < 0\), \(y < 0\).
При \(x < 0\) и \(y < 0\) чётные степени \(y^{10}\) и \(x^{14}\) положительны, значит, числитель \(81y^{10}\) и знаменатель \(x^{14}\) положительны. Учитывая это, преобразуем выражение: \[\sqrt{\frac{81y^{10}}{x^{14}}} = \frac{\sqrt{81y^{10}}}{\sqrt{x^{14}}} = \frac{\sqrt{81} \cdot \sqrt{y^{10}}}{\sqrt{x^{14}}} = \frac{9|y^5|}{|x^7|}.\] Нечётная степень отрицательного числа отрицательна: \(y^5 < 0\) и \(x^7 < 0\). Значит, \(|y^5| = -y^5\) и \(|x^7| = -x^7\), откуда \[\frac{9|y^5|}{|x^7|} = \frac{9 \cdot (-y^5)}{-x^7} = \frac{9y^5}{x^7}.\]
Ответ: \(\frac{9y^5}{x^7}\).
