Страница 54 номер 240, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения: а) \(\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{925}}\); б) \(\sqrt{6 \cdot 45} \cdot \sqrt{30}\); в) \(\frac{(3\sqrt{2})^2}{36}\); г) \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{147}\); д) \(\frac{\sqrt{405}}{\sqrt{320}}\); е) \(\sqrt{13^2 - 12^2}\).
а) \(925 = 37 \cdot 25\), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{925}} = \sqrt{\frac{37}{925}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = {} \\ &= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} = 0{,}2. \end{aligned}\]
б) \(6 \cdot 45 \cdot 30 = 8100 = 81 \cdot 100\), поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt{6 \cdot 45} \cdot \sqrt{30} = \sqrt{6 \cdot 45 \cdot 30} = {} \\ &= \sqrt{81 \cdot 100} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{100} = 9 \cdot 10 = 90. \end{aligned}\]
в) \[\frac{(3\sqrt{2})^2}{36} = \frac{3^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{36} = \frac{9 \cdot 2}{36} = \frac{1}{2} = 0{,}5.\]
г) \[\begin{aligned} &\sqrt{12} \cdot \sqrt{147} = \sqrt{12 \cdot 147} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 49} = {} \\ &= \sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = 6 \cdot 7 = 42. \end{aligned}\]
д) \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{405}}{\sqrt{320}} = \sqrt{\frac{405}{320}} = \sqrt{\frac{81}{64}} = {} \\ &= \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{64}} = \frac{9}{8} = 1{,}125. \end{aligned}\]
е) \[\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5.\]
Ответ: а) \(0{,}2\); б) 90; в) \(0{,}5\); г) 42; д) \(1{,}125\); е) 5.
Найдите значение выражения: а) \(\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{925}}\); б) \(\sqrt{6 \cdot 45} \cdot \sqrt{30}\); в) \(\frac{(3\sqrt{2})^2}{36}\); г) \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{147}\); д) \(\frac{\sqrt{405}}{\sqrt{320}}\); е) \(\sqrt{13^2 - 12^2}\).
а) При \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\) верно равенство \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\); кроме того, \(925 = 37 \cdot 25\): \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{925}} = \sqrt{\frac{37}{925}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = {} \\ &= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} = 0{,}2. \end{aligned}\]
б) Произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел, и наоборот; кроме того, \(6 \cdot 45 \cdot 30 = 8100 = 81 \cdot 100\): \[\begin{aligned} &\sqrt{6 \cdot 45} \cdot \sqrt{30} = \sqrt{6 \cdot 45 \cdot 30} = {} \\ &= \sqrt{81 \cdot 100} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{100} = 9 \cdot 10 = 90. \end{aligned}\]
в) Квадрат произведения равен произведению квадратов множителей, а \((\sqrt{2})^2 = 2\) по определению арифметического квадратного корня: \[\frac{(3\sqrt{2})^2}{36} = \frac{3^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{36} = \frac{9 \cdot 2}{36} = \frac{1}{2} = 0{,}5.\]
г) \[\begin{aligned} &\sqrt{12} \cdot \sqrt{147} = \sqrt{12 \cdot 147} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 49} = {} \\ &= \sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = 6 \cdot 7 = 42. \end{aligned}\]
д) Дробь \(\frac{405}{320}\) сократим на 5: \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{405}}{\sqrt{320}} = \sqrt{\frac{405}{320}} = \sqrt{\frac{81}{64}} = {} \\ &= \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{64}} = \frac{9}{8} = 1{,}125. \end{aligned}\]
е) \[\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5.\]
Ответ: а) \(0{,}2\); б) 90; в) \(0{,}5\); г) 42; д) \(1{,}125\); е) 5.
