Страница 54 номер 239, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt{2^4 \cdot 3^{10}}\); б) \(\sqrt{\frac{196 \cdot 324}{25 \cdot 64}}\); в) \(\sqrt{4^6}\); г) \(\sqrt{25 \cdot 81}\); д) \(\sqrt{22 \cdot 99 \cdot 50}\).
а) \[\begin{aligned} &\sqrt{2^4 \cdot 3^{10}} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^{10}} = \sqrt{\left(2^2\right)^2} \cdot \sqrt{\left(3^5\right)^2} = {} \\ &= \left|2^2\right| \cdot \left|3^5\right| = 4 \cdot 243 = 972. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &\sqrt{\frac{196 \cdot 324}{25 \cdot 64}} = \frac{\sqrt{196 \cdot 324}}{\sqrt{25 \cdot 64}} = {} \\ &= \frac{\sqrt{196} \cdot \sqrt{324}}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{64}} = \frac{14 \cdot 18}{5 \cdot 8} = \frac{63}{10} = 6{,}3. \end{aligned}\]
в) \[\sqrt{4^6} = \sqrt{\left(4^3\right)^2} = \left|4^3\right| = 64.\]
г) \[\sqrt{25 \cdot 81} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{81} = 5 \cdot 9 = 45.\]
д) \[\begin{aligned} &\sqrt{22 \cdot 99 \cdot 50} = \sqrt{2 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 25} = {} \\ &= \sqrt{4 \cdot 121 \cdot 225} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{121} \cdot \sqrt{225} = {} \\ &= 2 \cdot 11 \cdot 15 = 330. \end{aligned}\]
Ответ: а) 972; б) \(6{,}3\); в) 64; г) 45; д) 330.
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt{2^4 \cdot 3^{10}}\); б) \(\sqrt{\frac{196 \cdot 324}{25 \cdot 64}}\); в) \(\sqrt{4^6}\); г) \(\sqrt{25 \cdot 81}\); д) \(\sqrt{22 \cdot 99 \cdot 50}\).
а) Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из них; степени с чётными показателями запишем в виде квадратов: \[\begin{aligned} &\sqrt{2^4 \cdot 3^{10}} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^{10}} = \sqrt{\left(2^2\right)^2} \cdot \sqrt{\left(3^5\right)^2} = {} \\ &= \left|2^2\right| \cdot \left|3^5\right| = 4 \cdot 243 = 972. \end{aligned}\]
б) При \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\) верно равенство \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), а при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\) — равенство \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\): \[\begin{aligned} &\sqrt{\frac{196 \cdot 324}{25 \cdot 64}} = \frac{\sqrt{196 \cdot 324}}{\sqrt{25 \cdot 64}} = {} \\ &= \frac{\sqrt{196} \cdot \sqrt{324}}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{64}} = \frac{14 \cdot 18}{5 \cdot 8} = \frac{63}{10} = 6{,}3. \end{aligned}\]
в) \[\sqrt{4^6} = \sqrt{\left(4^3\right)^2} = \left|4^3\right| = 64.\]
г) \[\sqrt{25 \cdot 81} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{81} = 5 \cdot 9 = 45.\]
д) Разложим множители под корнем и сгруппируем точные квадраты: \[\begin{aligned} &\sqrt{22 \cdot 99 \cdot 50} = \sqrt{2 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 25} = {} \\ &= \sqrt{4 \cdot 121 \cdot 225} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{121} \cdot \sqrt{225} = {} \\ &= 2 \cdot 11 \cdot 15 = 330. \end{aligned}\]
Ответ: а) 972; б) \(6{,}3\); в) 64; г) 45; д) 330.
