Страница 54 номер 237, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения: а) \(\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{1100}}\); б) \(\sqrt{5^6 \cdot 2^8}\); в) \(\sqrt{13 \cdot 45} \cdot \sqrt{65}\); г) \(\frac{(2\sqrt{8})^2}{64}\).
а) \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{1100}} = \sqrt{\frac{11}{1100}} = \sqrt{\frac{1}{100}} = {} \\ &= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0{,}1. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &\sqrt{5^6 \cdot 2^8} = \sqrt{5^6} \cdot \sqrt{2^8} = \sqrt{\left(5^3\right)^2} \cdot \sqrt{\left(2^4\right)^2} = {} \\ &= \left|5^3\right| \cdot \left|2^4\right| = 125 \cdot 16 = 2000. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} &\sqrt{13 \cdot 45} \cdot \sqrt{65} = \sqrt{13 \cdot 45 \cdot 65} = {} \\ &= \sqrt{13 \cdot 45 \cdot 5 \cdot 13} = \sqrt{169 \cdot 225} = {} \\ &= \sqrt{169} \cdot \sqrt{225} = 13 \cdot 15 = 195. \end{aligned}\]
г) \[\frac{(2\sqrt{8})^2}{64} = \frac{2^2 \cdot (\sqrt{8})^2}{64} = \frac{4 \cdot 8}{64} = \frac{1}{2} = 0{,}5.\]
Ответ: а) \(0{,}1\); б) 2000; в) 195; г) \(0{,}5\).
Найдите значение выражения: а) \(\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{1100}}\); б) \(\sqrt{5^6 \cdot 2^8}\); в) \(\sqrt{13 \cdot 45} \cdot \sqrt{65}\); г) \(\frac{(2\sqrt{8})^2}{64}\).
а) При \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\) верно равенство \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\); кроме того, \(1100 = 11 \cdot 100\): \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{1100}} = \sqrt{\frac{11}{1100}} = \sqrt{\frac{1}{100}} = {} \\ &= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0{,}1. \end{aligned}\]
б) Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из них; степени с чётными показателями запишем в виде квадратов: \[\begin{aligned} &\sqrt{5^6 \cdot 2^8} = \sqrt{5^6} \cdot \sqrt{2^8} = \sqrt{\left(5^3\right)^2} \cdot \sqrt{\left(2^4\right)^2} = {} \\ &= \left|5^3\right| \cdot \left|2^4\right| = 125 \cdot 16 = 2000. \end{aligned}\]
в) Произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел, и наоборот; кроме того, \(65 = 5 \cdot 13\): \[\begin{aligned} &\sqrt{13 \cdot 45} \cdot \sqrt{65} = \sqrt{13 \cdot 45 \cdot 65} = {} \\ &= \sqrt{13 \cdot 45 \cdot 5 \cdot 13} = \sqrt{169 \cdot 225} = {} \\ &= \sqrt{169} \cdot \sqrt{225} = 13 \cdot 15 = 195. \end{aligned}\]
г) Квадрат произведения равен произведению квадратов множителей, а \((\sqrt{8})^2 = 8\) по определению арифметического квадратного корня: \[\frac{(2\sqrt{8})^2}{64} = \frac{2^2 \cdot (\sqrt{8})^2}{64} = \frac{4 \cdot 8}{64} = \frac{1}{2} = 0{,}5.\]
Ответ: а) \(0{,}1\); б) 2000; в) 195; г) \(0{,}5\).
