Страница 50 номер 235, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В трёхзначном числе переставили первую цифру в конец. Число осталось трёхзначным, но уменьшилось на 576. Чему может быть равно исходное число? Укажите все варианты.
Пусть \(a\) — первая цифра исходного числа, \(x\) — число из двух последних его цифр. Тогда исходное число равно \(100a + x\), а новое — \(10x + a\).
Первая цифра не равна нулю, поэтому \(a\) — одна из цифр 1, 2, …, 9. Число \(x\) составлено из двух цифр, поэтому \(0 \leqslant x \leqslant 99\). Вторая цифра исходного числа после перестановки стала первой, а число осталось трёхзначным, значит, эта цифра не равна нулю и \(x \geqslant 10\).
\[\begin{aligned} (100a + x) - (10x + a) &= 576; \\ 100a + x - 10x - a &= 576; \\ 99a - 9x &= 576; \qquad | : 9 \\ 11a - x &= 64; \\ x &= 11a - 64. \end{aligned}\] При \(a \leqslant 5\) получаем \(11a \leqslant 55 < 64\), то есть \(x < 0\), что невозможно.
При \(a = 6\) получаем \(x = 66 - 64 = 2\) — исходное число 602. Хотя \(602 - 26 = 576\), после перестановки получается запись 026 — двузначное число 26, а по условию число осталось трёхзначным. Этот вариант не подходит.
При \(a = 7\) получаем \(x = 77 - 64 = 13\) — исходное число 713.
При \(a = 8\) получаем \(x = 88 - 64 = 24\) — исходное число 824.
При \(a = 9\) получаем \(x = 99 - 64 = 35\) — исходное число 935.
В трёх последних случаях \(10 \leqslant x \leqslant 99\), то есть все условия выполнены.
Проверка: \(713 - 137 = 576\);
\(824 - 248 = 576\);
\(935 - 359 = 576\).
Ответ: 713; 824; 935.
В трёхзначном числе переставили первую цифру в конец. Число осталось трёхзначным, но уменьшилось на 576. Чему может быть равно исходное число? Укажите все варианты.
Обозначим первую цифру исходного числа через \(a\), а число, составленное из двух последних его цифр, — через \(x\). Тогда исходное число содержит \(a\) сотен и ещё \(x\) единиц, то есть равно \(100a + x\). После перестановки первой цифры в конец две последние цифры стали первыми, а цифра \(a\) — последней, поэтому новое число содержит \(x\) десятков и \(a\) единиц, то есть равно \(10x + a\).
Первая цифра трёхзначного числа не равна нулю, поэтому \(a\) — одна из цифр 1, 2, …, 9. Число \(x\) составлено из двух цифр, поэтому \(0 \leqslant x \leqslant 99\). Вторая цифра исходного числа после перестановки стала первой, а число осталось трёхзначным, значит, эта цифра не равна нулю и \(x \geqslant 10\).
Новое число меньше исходного на 576. Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые и разделим обе части уравнения на 9: \[\begin{aligned} (100a + x) - (10x + a) &= 576; \\ 100a + x - 10x - a &= 576; \\ 99a - 9x &= 576; \qquad | : 9 \\ 11a - x &= 64; \\ x &= 11a - 64. \end{aligned}\] При \(a \leqslant 5\) получаем \(11a \leqslant 55 < 64\), то есть \(x < 0\), что невозможно.
При \(a = 6\) получаем \(x = 66 - 64 = 2\), то есть исходное число 602. Хотя \(602 - 26 = 576\), при перестановке первой цифры в конец получается запись 026 — двузначное число 26, а по условию число осталось трёхзначным. Этот вариант не подходит.
При \(a = 7\) получаем \(x = 77 - 64 = 13\) — исходное число 713.
При \(a = 8\) получаем \(x = 88 - 64 = 24\) — исходное число 824.
При \(a = 9\) получаем \(x = 99 - 64 = 35\) — исходное число 935.
В трёх последних случаях \(10 \leqslant x \leqslant 99\), то есть все условия выполнены.
Проверка: \(713 - 137 = 576\);
\(824 - 248 = 576\);
\(935 - 359 = 576\).
Ответ: 713; 824; 935.
