Страница 44 номер 211, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях \(a\) и \(b\) множеством решений неравенства \(|x + a| \le b\) является промежуток \([-5; 8]\)?
При \(b < 0\) неравенство не имеет решений: модуль любого числа неотрицателен.
При \(b = 0\) неравенство выполняется только при \(x + a = 0\) — единственное решение \(x = -a\).
Ни в одном из этих случаев множество решений не является отрезком \([-5; 8]\), поэтому \(b > 0\).
При \(b > 0\) неравенство равносильно двойному неравенству \(-b \leqslant x + a \leqslant b\); прибавим ко всем частям число \(-a\): \[\begin{aligned} -b &\leqslant x + a \leqslant b; \qquad | -a \\ -a - b &\leqslant x \leqslant -a + b. \end{aligned}\] Отрезок \([-a - b; -a + b]\) совпадает с отрезком \([-5; 8]\) тогда и только тогда, когда совпадают их концы: \[\begin{cases} -a - b = -5, \\ -a + b = 8. \end{cases}\] Сложим уравнения: \(-2a = 3\), откуда \(a = -1{,}5\).
Из второго уравнения \(b = 8 + a = 8 - 1{,}5 = 6{,}5\) — положительно, как и требуется.
Проверка: при \(a = -1{,}5\) и \(b = 6{,}5\) получаем \(|x - 1{,}5| \leqslant 6{,}5\), то есть \(-6{,}5 \leqslant x - 1{,}5 \leqslant 6{,}5\); прибавив ко всем частям \(1{,}5\), получаем \(-5 \leqslant x \leqslant 8\) — отрезок \([-5; 8]\).
Ответ: \(a = -1{,}5\), \(b = 6{,}5\).
При каких значениях \(a\) и \(b\) множеством решений неравенства \(|x + a| \le b\) является промежуток \([-5; 8]\)?
Если \(b < 0\), то неравенство \(|x + a| \leqslant b\) не имеет решений, так как модуль любого числа неотрицателен. Если \(b = 0\), то неравенство выполняется только при \(x + a = 0\) и имеет единственное решение \(x = -a\). Ни в одном из этих случаев множество решений не является отрезком \([-5; 8]\), поэтому \(b > 0\).
При \(b > 0\) неравенство \(|x + a| \leqslant b\) равносильно системе неравенств \[\begin{cases} x + a \leqslant b, \\ x + a \geqslant -b. \end{cases}\] Эта система равносильна двойному неравенству \(-b \leqslant x + a \leqslant b\). Прибавим ко всем его частям число \(-a\): \[\begin{aligned} -b &\leqslant x + a \leqslant b; \qquad | -a \\ -a - b &\leqslant x \leqslant -a + b. \end{aligned}\] Множеством решений неравенства является отрезок \([-a - b; -a + b]\). Он совпадает с отрезком \([-5; 8]\) тогда и только тогда, когда совпадают их концы: \[\begin{cases} -a - b = -5, \\ -a + b = 8. \end{cases}\] Сложим уравнения системы: \(-2a = 3\), откуда \(a = -1{,}5\). Из второго уравнения \(b = 8 + a\), откуда \(b = 8 - 1{,}5 = 6{,}5\). Значение \(b = 6{,}5\) положительно, как и требуется.
Проверка: при \(a = -1{,}5\) и \(b = 6{,}5\) неравенство принимает вид \(|x - 1{,}5| \leqslant 6{,}5\). Оно равносильно двойному неравенству \(-6{,}5 \leqslant x - 1{,}5 \leqslant 6{,}5\); прибавив ко всем частям число \(1{,}5\), получаем \(-5 \leqslant x \leqslant 8\), то есть отрезок \([-5; 8]\).
Ответ: \(a = -1{,}5\), \(b = 6{,}5\).
