Страница 44 номер 210, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите все значения параметра \(a\), при которых множество решений системы неравенств \[\begin{cases} x > a, \\ -6x \ge 11 \end{cases}\] содержит ровно 11 целых чисел.
Разделим обе части неравенства \(-6x \geqslant 11\) на отрицательное число \(-6\), знак меняется: \[\begin{aligned} -6x &\geqslant 11; \qquad | : (-6) \\ x &\leqslant -\frac{11}{6}. \end{aligned}\] Решения системы: \(a < x \leqslant -\frac{11}{6}\).
\(-2 = -\frac{12}{6} < -\frac{11}{6}\), а \(-1 = -\frac{6}{6} > -\frac{11}{6}\), поэтому наибольшее целое число, не превосходящее \(-\frac{11}{6}\), — это \(-2\).
Целые решения системы — целые \(x\), для которых \(a < x \leqslant -2\): все целые числа подряд от наименьшего целого числа, большего \(a\), до \(-2\).
Ровно 11 целых чисел подряд, заканчивающихся числом \(-2\): \(-12\), \(-11\), \(-10\), \(-9\), \(-8\), \(-7\), \(-6\), \(-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\). Значит, число \(-12\) должно быть решением системы, а число \(-13\) — не должно.
Число \(-12\) удовлетворяет неравенству \(x > a\) при \(a < -12\), а число \(-13\) не удовлетворяет ему при \(a \geqslant -13\). Следовательно, \(-13 \leqslant a < -12\).
При \(a = -13\) решения — полуинтервал \(\left(-13; -\frac{11}{6}\right]\): число \(-13\) ему не принадлежит, целых чисел в нём ровно 11 — от \(-12\) до \(-2\); значение \(a = -13\) подходит.
При \(a = -12\) решения — полуинтервал \(\left(-12; -\frac{11}{6}\right]\): число \(-12\) ему не принадлежит, целых чисел в нём только 10 — от \(-11\) до \(-2\); значение \(a = -12\) не подходит.
Ответ: \(-13 \leqslant a < -12\).
Найдите все значения параметра \(a\), при которых множество решений системы неравенств \[\begin{cases} x > a, \\ -6x \ge 11 \end{cases}\] содержит ровно 11 целых чисел.
Решим второе неравенство системы. Разделим обе части неравенства \(-6x \geqslant 11\) на отрицательное число \(-6\), поменяв знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -6x &\geqslant 11; \qquad | : (-6) \\ x &\leqslant -\frac{11}{6}. \end{aligned}\] Значит, множество решений системы состоит из чисел \(x\), для которых \(a < x \leqslant -\frac{11}{6}\).
Найдём наибольшее целое число, не превосходящее \(-\frac{11}{6}\). Так как \(-2 = -\frac{12}{6}\) и \(-\frac{12}{6} < -\frac{11}{6}\), а \(-1 = -\frac{6}{6}\) и \(-\frac{6}{6} > -\frac{11}{6}\), это число \(-2\). Поэтому целые решения системы — это целые числа \(x\), для которых \(a < x \leqslant -2\), то есть все целые числа подряд от наименьшего целого числа, большего \(a\), до числа \(-2\).
Ровно 11 целых чисел, идущих подряд и заканчивающихся числом \(-2\), — это числа \(-12\), \(-11\), \(-10\), \(-9\), \(-8\), \(-7\), \(-6\), \(-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\). Значит, число \(-12\) должно быть решением системы, а число \(-13\) — не должно. Число \(-12\) удовлетворяет неравенству \(x > a\) при \(a < -12\), а число \(-13\) не удовлетворяет ему при \(a \geqslant -13\). Следовательно, \(-13 \leqslant a < -12\).
Проверим оба конца. При \(a = -13\) множество решений системы — полуинтервал \(\left(-13; -\frac{11}{6}\right]\): число \(-13\) ему не принадлежит, и целых чисел в нём ровно 11 — от \(-12\) до \(-2\). При \(a = -12\) множество решений системы — полуинтервал \(\left(-12; -\frac{11}{6}\right]\): число \(-12\) ему не принадлежит, и целых чисел в нём только 10 — от \(-11\) до \(-2\). Значит, значение \(a = -13\) подходит, а значение \(a = -12\) — нет.
Ответ: \(-13 \leqslant a < -12\).
