Страница 44 номер 209, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значения параметра \(a\) множеством решений двойного неравенства \(-3 \le 4x + a \le 9\) является отрезок, содержащий число 0?
Прибавим ко всем частям число \(-a\), затем разделим все части на положительное число 4, знаки сохраняются: \[\begin{aligned} -3 &\leqslant 4x + a \leqslant 9; \qquad | -a \\ -3 - a &\leqslant 4x \leqslant 9 - a; \qquad | : 4 \\ \frac{-3 - a}{4} &\leqslant x \leqslant \frac{9 - a}{4}. \end{aligned}\] При любом значении \(a\) верно \(-3 - a < 9 - a\) (к обеим частям верного неравенства \(-3 < 9\) прибавили \(-a\)), поэтому \(\frac{-3 - a}{4} < \frac{9 - a}{4}\) и решения — отрезок \(\left[\frac{-3 - a}{4}; \frac{9 - a}{4}\right]\).
Число 0 принадлежит этому отрезку тогда и только тогда, когда \(\frac{-3 - a}{4} \leqslant 0 \leqslant \frac{9 - a}{4}\), то есть \[\begin{cases} \frac{-3 - a}{4} \leqslant 0, & | \cdot 4 \\ 0 \leqslant \frac{9 - a}{4}. & | \cdot 4 \end{cases}\] Умножим обе части первого неравенства на положительное число 4: \(-3 - a \leqslant 0\), откуда \(a \geqslant -3\).
Умножим обе части второго неравенства на 4: \(0 \leqslant 9 - a\), откуда \(a \leqslant 9\).
Значит, \(-3 \leqslant a \leqslant 9\).
Проверка: число 0 — решение неравенства \(-3 \leqslant 4x + a \leqslant 9\) тогда и только тогда, когда \(-3 \leqslant 4 \cdot 0 + a \leqslant 9\), то есть \(-3 \leqslant a \leqslant 9\), — результат тот же.
Ответ: \(-3 \leqslant a \leqslant 9\).
При каких значения параметра \(a\) множеством решений двойного неравенства \(-3 \le 4x + a \le 9\) является отрезок, содержащий число 0?
Решим двойное неравенство. Прибавим ко всем его частям число \(-a\): \[\begin{aligned} -3 &\leqslant 4x + a \leqslant 9; \qquad | -a \\ -3 - a &\leqslant 4x \leqslant 9 - a. \qquad | : 4 \end{aligned}\] Разделим все части на положительное число 4, знаки неравенства при этом сохраняются: \[\frac{-3 - a}{4} \leqslant x \leqslant \frac{9 - a}{4}.\] При любом значении \(a\) выполняется неравенство \(-3 - a < 9 - a\): оно получается прибавлением числа \(-a\) к обеим частям верного неравенства \(-3 < 9\). Поэтому \(\frac{-3 - a}{4} < \frac{9 - a}{4}\), и множеством решений двойного неравенства при любом \(a\) является отрезок \(\left[\frac{-3 - a}{4}; \frac{9 - a}{4}\right]\).
Для того чтобы число 0 принадлежало этому отрезку, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось двойное неравенство \(\frac{-3 - a}{4} \leqslant 0 \leqslant \frac{9 - a}{4}\). Запишем его в виде системы неравенств: \[\begin{cases} \frac{-3 - a}{4} \leqslant 0, & | \cdot 4 \\ 0 \leqslant \frac{9 - a}{4}. & | \cdot 4 \end{cases}\] Умножив обе части первого неравенства на положительное число 4, получаем \(-3 - a \leqslant 0\), откуда \(a \geqslant -3\). Умножив обе части второго неравенства на 4, получаем \(0 \leqslant 9 - a\), откуда \(a \leqslant 9\). Значит, искомые значения \(a\) удовлетворяют двойному неравенству \(-3 \leqslant a \leqslant 9\).
Проверка: число 0 является решением двойного неравенства \(-3 \leqslant 4x + a \leqslant 9\) тогда и только тогда, когда при \(x = 0\) получается верное неравенство \(-3 \leqslant 4 \cdot 0 + a \leqslant 9\), то есть \(-3 \leqslant a \leqslant 9\), — результат тот же.
Ответ: \(-3 \leqslant a \leqslant 9\).
