Страница 44 номер 204, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите, при каком наибольшем целом значении параметра \(a\) корень уравнения \(3(2x - 1) = 2(a - 7)\) будет отрицательным.
\[\begin{aligned} 6x - 3 &= 2a - 14; \\ 6x &= 2a - 14 + 3; \\ 6x &= 2a - 11; \\ x &= \frac{2a - 11}{6}. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x\) равен 6, то есть не равен нулю, поэтому при любом значении \(a\) корень единственный.
Корень отрицателен, когда \(\frac{2a - 11}{6} < 0\); умножим обе части на положительное число 6, знак сохраняется: \[\begin{aligned} \frac{2a - 11}{6} &< 0; \qquad | \cdot 6 \\ 2a - 11 &< 0; \\ 2a &< 11; \\ a &< 5{,}5. \end{aligned}\] Наибольшее целое число, меньшее \(5{,}5\), — это 5.
Проверка: при \(a = 5\): \(6x - 3 = -4\), \(x = -\frac{1}{6}\) — корень отрицательный; при \(a = 6\): \(6x - 3 = -2\), \(x = \frac{1}{6}\) — корень положительный.
Ответ: 5.
Найдите, при каком наибольшем целом значении параметра \(a\) корень уравнения \(3(2x - 1) = 2(a - 7)\) будет отрицательным.
Раскроем скобки и решим уравнение \(3(2x - 1) = 2(a - 7)\) относительно \(x\): \[\begin{aligned} 6x - 3 &= 2a - 14; \\ 6x &= 2a - 14 + 3; \\ 6x &= 2a - 11; \\ x &= \frac{2a - 11}{6}. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x\) равен 6, то есть не равен нулю, поэтому при любом значении \(a\) уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{2a - 11}{6}\).
Корень отрицателен тогда и только тогда, когда выполняется неравенство \(\frac{2a - 11}{6} < 0\). Умножим обе части неравенства на положительное число 6, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} \frac{2a - 11}{6} &< 0; \qquad | \cdot 6 \\ 2a - 11 &< 0; \\ 2a &< 11; \\ a &< 5{,}5. \end{aligned}\] Наибольшее целое число, меньшее \(5{,}5\), — это 5.
Проверка: при \(a = 5\) уравнение принимает вид \(3(2x - 1) = 2 \cdot (5 - 7)\), то есть \(6x - 3 = -4\), откуда \(x = -\frac{1}{6}\) — корень отрицательный. При \(a = 6\) получаем уравнение \(6x - 3 = -2\), откуда \(x = \frac{1}{6}\) — корень положительный.
Ответ: 5.
