Страница 43 номер 202, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Известно, что \(-4 \le x \le 3\) и \(-6 \le y \le -1\). Оцените выражение \(\frac{4x + 3}{-1 - 5y}\).
\(\frac{4x + 3}{-1 - 5y} = (4x + 3) \cdot \frac{1}{-1 - 5y}\) — оцениваем множители по отдельности.
Умножим все части неравенства \(-4 \leqslant x \leqslant 3\) на положительное число 4, затем прибавим 3, знаки сохраняются: \[\begin{aligned} -4 &\leqslant x \leqslant 3; \qquad | \cdot 4 \\ -16 &\leqslant 4x \leqslant 12; \qquad | +3 \\ -13 &\leqslant 4x + 3 \leqslant 15. \end{aligned}\] Умножим все части неравенства \(-6 \leqslant y \leqslant -1\) на отрицательное число \(-5\), оба знака меняются на противоположные, затем прибавим \(-1\): \[\begin{aligned} -6 &\leqslant y \leqslant -1; \qquad | \cdot (-5) \\ 30 &\geqslant -5y \geqslant 5; \\ 5 &\leqslant -5y \leqslant 30; \qquad | -1 \\ 4 &\leqslant -1 - 5y \leqslant 29. \end{aligned}\] Все части положительны, знаменатель \(-1 - 5y\) не обращается в нуль; при переходе к обратным величинам знаки меняются на противоположные: \[\begin{aligned} \frac{1}{4} &\geqslant \frac{1}{-1 - 5y} \geqslant \frac{1}{29}; \\ \frac{1}{29} &\leqslant \frac{1}{-1 - 5y} \leqslant \frac{1}{4}. \end{aligned}\] Числитель \(4x + 3\) может быть и отрицательным, и положительным, а почленно перемножать можно только неравенства с неотрицательными частями, поэтому рассмотрим два случая: \(4x + 3 \leqslant 0\) и \(4x + 3 > 0\).
Если \(-13 \leqslant 4x + 3 \leqslant 0\), то, умножив все части на \(-1\) (оба знака меняются), получаем \(0 \leqslant -4x - 3 \leqslant 13\). Все части этого неравенства и неравенства \(\frac{1}{29} \leqslant \frac{1}{-1 - 5y} \leqslant \frac{1}{4}\) неотрицательны, поэтому перемножим их: \[\begin{aligned} 0 \cdot \frac{1}{29} &\leqslant (-4x - 3) \cdot \frac{1}{-1 - 5y} \leqslant 13 \cdot \frac{1}{4}; \\ 0 &\leqslant -\frac{4x + 3}{-1 - 5y} \leqslant \frac{13}{4}. \qquad | \cdot (-1) \end{aligned}\] Умножим все части на \(-1\), оба знака меняются: \[-\frac{13}{4} \leqslant \frac{4x + 3}{-1 - 5y} \leqslant 0.\] Если \(0 < 4x + 3 \leqslant 15\), то дробь положительна как частное положительных чисел; перемножив неравенства \(4x + 3 \leqslant 15\) и \(\frac{1}{-1 - 5y} \leqslant \frac{1}{4}\) с неотрицательными частями, получаем \((4x + 3) \cdot \frac{1}{-1 - 5y} \leqslant 15 \cdot \frac{1}{4}\). Значит, \[0 < \frac{4x + 3}{-1 - 5y} \leqslant \frac{15}{4}.\] Объединив оба случая, получаем: \[-\frac{13}{4} \leqslant \frac{4x + 3}{-1 - 5y} \leqslant \frac{15}{4}.\]
Проверка: обе границы достигаются: при \(x = -4\) и \(y = -1\) получаем \(\frac{4 \cdot (-4) + 3}{-1 - 5 \cdot (-1)} = \frac{-13}{4} = -\frac{13}{4}\), при \(x = 3\) и \(y = -1\) — \(\frac{4 \cdot 3 + 3}{-1 - 5 \cdot (-1)} = \frac{15}{4}\).
Ответ: \(-\frac{13}{4} \leqslant \frac{4x + 3}{-1 - 5y} \leqslant \frac{15}{4}\).
Известно, что \(-4 \le x \le 3\) и \(-6 \le y \le -1\). Оцените выражение \(\frac{4x + 3}{-1 - 5y}\).
Представим выражение в виде произведения: \[\frac{4x + 3}{-1 - 5y} = (4x + 3) \cdot \frac{1}{-1 - 5y}.\] Оценим значение каждого из множителей.
Умножим все части двойного неравенства \(-4 \leqslant x \leqslant 3\) на положительное число 4, а затем прибавим ко всем частям число 3, знаки неравенства при этом сохраняются: \[\begin{aligned} -4 &\leqslant x \leqslant 3; \qquad | \cdot 4 \\ -16 &\leqslant 4x \leqslant 12; \qquad | +3 \\ -13 &\leqslant 4x + 3 \leqslant 15. \end{aligned}\] Умножим все части двойного неравенства \(-6 \leqslant y \leqslant -1\) на отрицательное число \(-5\), поменяв оба знака на противоположные, а затем прибавим ко всем частям число \(-1\): \[\begin{aligned} -6 &\leqslant y \leqslant -1; \qquad | \cdot (-5) \\ 30 &\geqslant -5y \geqslant 5; \\ 5 &\leqslant -5y \leqslant 30; \qquad | -1 \\ 4 &\leqslant -1 - 5y \leqslant 29. \end{aligned}\] Все части последнего неравенства положительны, в частности знаменатель \(-1 - 5y\) не обращается в нуль. Если обе части неравенства положительны, то при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} \frac{1}{4} &\geqslant \frac{1}{-1 - 5y} \geqslant \frac{1}{29}; \\ \frac{1}{29} &\leqslant \frac{1}{-1 - 5y} \leqslant \frac{1}{4}. \end{aligned}\] Числитель \(4x + 3\) может быть и отрицательным, и положительным, а почленно перемножать можно только неравенства с неотрицательными частями. Поэтому рассмотрим два случая: \(4x + 3 \leqslant 0\) и \(4x + 3 > 0\).
Если \(-13 \leqslant 4x + 3 \leqslant 0\), то, умножив все части на \(-1\) и поменяв оба знака на противоположные, получаем \(0 \leqslant -4x - 3 \leqslant 13\). Все части этого неравенства и неравенства \(\frac{1}{29} \leqslant \frac{1}{-1 - 5y} \leqslant \frac{1}{4}\) неотрицательны, поэтому их можно перемножить: \[\begin{aligned} 0 \cdot \frac{1}{29} &\leqslant (-4x - 3) \cdot \frac{1}{-1 - 5y} \leqslant 13 \cdot \frac{1}{4}; \\ 0 &\leqslant -\frac{4x + 3}{-1 - 5y} \leqslant \frac{13}{4}. \qquad | \cdot (-1) \end{aligned}\] Умножим все части на \(-1\), поменяв оба знака на противоположные: \[-\frac{13}{4} \leqslant \frac{4x + 3}{-1 - 5y} \leqslant 0.\] Если \(0 < 4x + 3 \leqslant 15\), то дробь \(\frac{4x + 3}{-1 - 5y}\) положительна как частное положительных чисел. Перемножив неравенства \(4x + 3 \leqslant 15\) и \(\frac{1}{-1 - 5y} \leqslant \frac{1}{4}\) с неотрицательными частями, получаем \((4x + 3) \cdot \frac{1}{-1 - 5y} \leqslant 15 \cdot \frac{1}{4}\). Значит, \[0 < \frac{4x + 3}{-1 - 5y} \leqslant \frac{15}{4}.\] Поскольку \(-\frac{13}{4} \leqslant \frac{4x + 3}{-1 - 5y} \leqslant 0\) или \(0 < \frac{4x + 3}{-1 - 5y} \leqslant \frac{15}{4}\), получаем, что \[-\frac{13}{4} \leqslant \frac{4x + 3}{-1 - 5y} \leqslant \frac{15}{4}.\]
Проверка: обе границы достигаются. При \(x = -4\) и \(y = -1\) получаем \(\frac{4 \cdot (-4) + 3}{-1 - 5 \cdot (-1)} = \frac{-13}{4} = -\frac{13}{4}\), а при \(x = 3\) и \(y = -1\) получаем \(\frac{4 \cdot 3 + 3}{-1 - 5 \cdot (-1)} = \frac{15}{4}\).
Ответ: \(-\frac{13}{4} \leqslant \frac{4x + 3}{-1 - 5y} \leqslant \frac{15}{4}\).
