Страница 43 номер 195, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} 5x - 3 > 12 \\ 0{,}25x + 5 \le 3, \end{array}\right. \\ 2x - 5 < 23. \end{cases}\]
Множество решений системы — пересечение множеств решений совокупности и неравенства \(2x - 5 < 23\).
Первое неравенство совокупности: \[\begin{aligned} 5x - 3 &> 12; \\ 5x &> 12 + 3; \\ 5x &> 15; \\ x &> 3. \end{aligned}\] Второе неравенство совокупности: \[\begin{aligned} 0{,}25x + 5 &\leqslant 3; \\ 0{,}25x &\leqslant 3 - 5; \\ 0{,}25x &\leqslant -2. \qquad | \cdot 4 \end{aligned}\] Умножим обе части на положительное число 4, знак сохраняется: \[x \leqslant -8.\] Множество решений совокупности — объединение лучей: \((-\infty; -8] \cup (3; +\infty)\).
Неравенство \(2x - 5 < 23\): \[\begin{aligned} 2x &< 23 + 5; \\ 2x &< 28; \\ x &< 14. \end{aligned}\]
Каждое число, не большее \(-8\), меньше 14, поэтому луч \((-\infty; -8]\) входит в пересечение целиком.
Из луча \((3; +\infty)\) в пересечение входят только числа, меньшие 14, — интервал \((3; 14)\); число 14 не входит: неравенство \(x < 14\) строгое.
Значит, множество решений системы — \((-\infty; -8] \cup (3; 14)\).
Ответ: \((-\infty; -8] \cup (3; 14)\).
Решите систему \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} 5x - 3 > 12 \\ 0{,}25x + 5 \le 3, \end{array}\right. \\ 2x - 5 < 23. \end{cases}\]
Первая строка системы — совокупность двух неравенств, вторая — неравенство \(2x - 5 < 23\). Решением системы является любое число, которое одновременно является решением совокупности и решением неравенства \(2x - 5 < 23\). Поэтому нужно найти множество решений совокупности, множество решений неравенства \(2x - 5 < 23\) и пересечение этих множеств.
Решим первое неравенство совокупности: \[\begin{aligned} 5x - 3 &> 12; \\ 5x &> 12 + 3; \\ 5x &> 15; \\ x &> 3. \end{aligned}\] Решим второе неравенство совокупности: \[\begin{aligned} 0{,}25x + 5 &\leqslant 3; \\ 0{,}25x &\leqslant 3 - 5; \\ 0{,}25x &\leqslant -2. \qquad | \cdot 4 \end{aligned}\] Умножим обе части неравенства на положительное число 4, знак неравенства при этом сохраняется: \[x \leqslant -8.\] Множеством решений совокупности является объединение лучей \((-\infty; -8]\) и \((3; +\infty)\), то есть множество \((-\infty; -8] \cup (3; +\infty)\).
Решим неравенство \(2x - 5 < 23\): \[\begin{aligned} 2x &< 23 + 5; \\ 2x &< 28; \\ x &< 14. \end{aligned}\] Изобразим множество решений совокупности и луч \((-\infty; 14)\) на одной числовой прямой.
Пересечение состоит из чисел, которые принадлежат и множеству \((-\infty; -8] \cup (3; +\infty)\), и лучу \((-\infty; 14)\). Каждое число, не большее \(-8\), меньше 14, поэтому весь луч \((-\infty; -8]\) входит в пересечение. Из луча \((3; +\infty)\) в пересечение входят только числа, меньшие 14, — это интервал \((3; 14)\); число 14 в пересечение не входит, так как неравенство \(x < 14\) строгое. Таким образом, множеством решений системы является множество \((-\infty; -8] \cup (3; 14)\).
Ответ: \((-\infty; -8] \cup (3; 14)\).
