Страница 43 номер 194, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите совокупность неравенств \[\left[\begin{array}{l} 3x > 2x + 5 \\ x + 1 > 5x - 3. \end{array}\right.\]
Первое неравенство: \[\begin{aligned} 3x &> 2x + 5; \\ 3x - 2x &> 5; \\ x &> 5. \end{aligned}\] Второе неравенство: \[\begin{aligned} x + 1 &> 5x - 3; \\ x - 5x &> -3 - 1; \\ -4x &> -4. \qquad | : (-4) \end{aligned}\] Разделим обе части на отрицательное число \(-4\), знак меняется: \[x < 1.\] Решения неравенств — лучи \((5; +\infty)\) и \((-\infty; 1)\).
Множество решений совокупности — объединение лучей: \((-\infty; 1) \cup (5; +\infty)\). Числа 1 и 5 в него не входят: оба неравенства строгие, и ни одно из этих чисел не удовлетворяет ни первому, ни второму неравенству.
Ответ: \((-\infty; 1) \cup (5; +\infty)\).
Решите совокупность неравенств \[\left[\begin{array}{l} 3x > 2x + 5 \\ x + 1 > 5x - 3. \end{array}\right.\]
Решим первое неравенство совокупности: \[\begin{aligned} 3x &> 2x + 5; \\ 3x - 2x &> 5; \\ x &> 5. \end{aligned}\] Решим второе неравенство совокупности: \[\begin{aligned} x + 1 &> 5x - 3; \\ x - 5x &> -3 - 1; \\ -4x &> -4. \qquad | : (-4) \end{aligned}\] Разделим обе части неравенства на отрицательное число \(-4\), поменяв знак неравенства на противоположный: \[x < 1.\] Множеством решений первого неравенства совокупности является луч \((5; +\infty)\), а множеством решений второго неравенства — луч \((-\infty; 1)\). Изобразим оба луча на одной числовой прямой.
Решением совокупности является любое число, которое является решением хотя бы одного из входящих в неё неравенств. Поэтому множеством решений совокупности будет объединение получившихся лучей, то есть множество \((-\infty; 1) \cup (5; +\infty)\). Числа 1 и 5 в него не входят: оба неравенства строгие, и ни одно из этих чисел не удовлетворяет ни первому, ни второму неравенству.
Ответ: \((-\infty; 1) \cup (5; +\infty)\).
