Страница 43 номер 193, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство \(|x - 6| \le |x - 2|\).
\(|x - 6|\) — расстояние от точки \(x\) до точки 6, \(|x - 2|\) — расстояние от точки \(x\) до точки 2. Ищем точки \(x\), расстояние от которых до точки 6 не больше, чем до точки 2.
\(4 - 2 = 2\) и \(6 - 4 = 2\) — точка 4, середина отрезка \([2; 6]\), одинаково удалена от точек 2 и 6.
Правее точки 4 расстояние до точки 6 меньше, чем до точки 2, левее — больше. В самой точке 4 расстояния равны, а неравенство нестрогое, поэтому 4 — тоже решение.
Значит, множество решений — луч \([4; +\infty)\).
Проверка: при \(x = 5\): \(|5 - 6| = 1\), \(|5 - 2| = 3\), \(1 \leqslant 3\) — верно; при \(x = 4\): \(|4 - 6| = 2\), \(|4 - 2| = 2\), \(2 \leqslant 2\) — верно; при \(x = 3\): \(|3 - 6| = 3\), \(|3 - 2| = 1\), \(3 \leqslant 1\) — неверно.
Ответ: \([4; +\infty)\).
Решите неравенство \(|x - 6| \le |x - 2|\).
Заметим, что \(|x - 6|\) — это расстояние на числовой прямой от точки \(x\) до точки 6, а \(|x - 2|\) — расстояние от точки \(x\) до точки 2. Значит, нужно найти все такие точки \(x\), расстояние от которых до точки 6 не больше, чем до точки 2.
Точка, расстояние от которой до точек 2 и 6 одинаково, — это середина отрезка \([2; 6]\), то есть точка 4: \(4 - 2 = 2\) и \(6 - 4 = 2\). Отметим точки 2, 4 и 6 на числовой прямой.
От любой точки, лежащей правее точки 4, расстояние до точки 6 меньше, чем до точки 2, а от любой точки, лежащей левее точки 4, расстояние до точки 6 больше, чем до точки 2. От самой точки 4 расстояния до точек 2 и 6 равны, а неравенство нестрогое, поэтому число 4 — тоже решение.
Таким образом, множество решений неравенства \(|x - 6| \leqslant |x - 2|\) — это луч \([4; +\infty)\).
Проверка: при \(x = 5\) получаем \(|5 - 6| = 1\) и \(|5 - 2| = 3\), неравенство \(1 \leqslant 3\) верно; при \(x = 4\) получаем \(|4 - 6| = 2\) и \(|4 - 2| = 2\), неравенство \(2 \leqslant 2\) верно; при \(x = 3\) получаем \(|3 - 6| = 3\) и \(|3 - 2| = 1\), неравенство \(3 \leqslant 1\) неверно.
Ответ: \([4; +\infty)\).
