Страница 43 номер 190, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) решением неравенства \(-3 \le 7x - a \le 10\) является отрезок, содержащий число 0?
\[\begin{aligned} -3 &\leqslant 7x - a \leqslant 10; \qquad | + a \\ a - 3 &\leqslant 7x \leqslant a + 10; \qquad | : 7 \\ \frac{a - 3}{7} &\leqslant x \leqslant \frac{a + 10}{7}. \end{aligned}\] При делении на положительное число 7 знаки сохраняются.
При любом \(a\) верно \(a - 3 < a + 10\), поэтому \(\frac{a - 3}{7} < \frac{a + 10}{7}\) и множество решений — отрезок \(\left[\frac{a - 3}{7}; \frac{a + 10}{7}\right]\).
Число 0 принадлежит отрезку, когда \(\frac{a - 3}{7} \leqslant 0 \leqslant \frac{a + 10}{7}\), то есть \[\begin{cases}\frac{a - 3}{7} \leqslant 0, & | \cdot 7\\ 0 \leqslant \frac{a + 10}{7}. & | \cdot 7\end{cases}\] Умножим обе части каждого неравенства на положительное число 7.
Из первого: \(a - 3 \leqslant 0\), то есть \(a \leqslant 3\).
Из второго: \(0 \leqslant a + 10\), то есть \(a \geqslant -10\).
Значит, \(-10 \leqslant a \leqslant 3\).
Ответ: \(-10 \leqslant a \leqslant 3\).
При каких значениях параметра \(a\) решением неравенства \(-3 \le 7x - a \le 10\) является отрезок, содержащий число 0?
Решим двойное неравенство: \[\begin{aligned} -3 &\leqslant 7x - a \leqslant 10; \qquad | + a \\ a - 3 &\leqslant 7x \leqslant a + 10; \qquad | : 7 \\ \frac{a - 3}{7} &\leqslant x \leqslant \frac{a + 10}{7}. \end{aligned}\] При делении всех частей на положительное число 7 знаки сохраняются. При любом значении \(a\) выполняется неравенство \(a - 3 < a + 10\), поэтому \(\frac{a - 3}{7} < \frac{a + 10}{7}\) — левый конец меньше правого. Значит, при любом значении \(a\) множеством решений неравенства является отрезок \(\left[\frac{a - 3}{7}; \frac{a + 10}{7}\right]\).
Число 0 принадлежит этому отрезку тогда и только тогда, когда выполняется двойное неравенство \(\frac{a - 3}{7} \leqslant 0 \leqslant \frac{a + 10}{7}\). Запишем его в виде системы неравенств: \[\begin{cases}\frac{a - 3}{7} \leqslant 0, & | \cdot 7\\ 0 \leqslant \frac{a + 10}{7}. & | \cdot 7\end{cases}\] Умножим обе части каждого неравенства на положительное число 7: из первого получаем \(a - 3 \leqslant 0\), то есть \(a \leqslant 3\), из второго — \(0 \leqslant a + 10\), то есть \(a \geqslant -10\). Значит, искомые значения \(a\) удовлетворяют двойному неравенству \(-10 \leqslant a \leqslant 3\).
Ответ: \(-10 \leqslant a \leqslant 3\).
