Страница 43 номер 188, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(|x| \le a\) имеет ровно 11 целочисленных решений?
При \(a < 0\) неравенство \(|x| \leqslant a\) решений не имеет, целочисленных решений нет.
При \(a = 0\) решение одно — число 0.
Значит, ровно 11 целочисленных решений может быть только при \(a > 0\).
При \(a > 0\) множество решений — отрезок \([-a; a]\), число 0 ему принадлежит. Модули противоположных чисел равны, поэтому целые решения, отличные от нуля, разбиваются на пары противоположных чисел: 11 решений — это 0, пять положительных и пять отрицательных.
Натуральное число \(n\) — решение, если \(n \leqslant a\), поэтому положительных решений ровно пять (1, 2, 3, 4, 5), когда 5 — решение, а 6 — нет: \[\begin{cases}5 \leqslant a,\\ 6 > a.\end{cases}\] Получаем \(5 \leqslant a < 6\).
Проверка: при \(a = 5\) отрезку \([-5; 5]\) принадлежат 11 целых чисел: \(-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-1\), 0, 1, 2, 3, 4, 5; при \(a = 6\) отрезку \([-6; 6]\) принадлежат ещё \(-6\) и 6, и целочисленных решений становится 13.
Ответ: \(5 \leqslant a < 6\).
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(|x| \le a\) имеет ровно 11 целочисленных решений?
Если \(a < 0\), то неравенство \(|x| \leqslant a\) не имеет решений, а значит, и целочисленных решений у него нет. Если \(a = 0\), то неравенство имеет единственное решение 0, то есть одно целочисленное решение. Следовательно, ровно 11 целочисленных решений может быть только при \(a > 0\).
При \(a > 0\) множеством решений неравенства \(|x| \leqslant a\) является отрезок \([-a; a]\), и число 0 ему принадлежит. Модули противоположных чисел равны, поэтому целое число и противоположное ему число либо оба являются решениями неравенства, либо оба не являются. Значит, целочисленные решения, отличные от нуля, разбиваются на пары противоположных чисел, и 11 целочисленных решений — это число 0 и ещё 10 решений: пять положительных и пять отрицательных.
Положительные целочисленные решения — это натуральные числа \(n\), для которых \(n \leqslant a\). Если натуральное число является решением, то все меньшие натуральные числа — тоже решения. Поэтому положительных решений ровно пять (это числа 1, 2, 3, 4, 5) тогда и только тогда, когда число 5 является решением, а число 6 — нет: \[\begin{cases}5 \leqslant a,\\ 6 > a.\end{cases}\] Получаем \(5 \leqslant a < 6\).
Проверка: при \(a = 5\) множество решений — отрезок \([-5; 5]\), ему принадлежат 11 целых чисел: \(-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-1\), 0, 1, 2, 3, 4, 5. При \(a = 6\) множество решений — отрезок \([-6; 6]\): к этим числам добавляются \(-6\) и 6, и целочисленных решений становится 13.
Ответ: \(5 \leqslant a < 6\).
