Страница 43 номер 187, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сколько целочисленных решений имеет неравенство \(|-4x| < 20\)?
В правой части стоит положительное число 20, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases}-4x < 20,\\ -4x > -20.\end{cases}\] Запишем систему двойным неравенством и разделим все его части на отрицательное число \(-4\), оба знака меняются: \[\begin{aligned} -20 &< -4x < 20; \qquad | : (-4) \\ 5 &> x > -5; \\ -5 &< x < 5. \end{aligned}\] Множество решений — интервал \((-5; 5)\), его концы \(-5\) и 5 — целые числа.
\(5 - (-5) - 1 = 9\) — количество целых чисел в интервале с целыми концами.
Это числа \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-1\), 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ: 9.
Сколько целочисленных решений имеет неравенство \(|-4x| < 20\)?
Воспользуемся решением неравенств вида \(|x| < a\) для положительных \(a\). Под знаком модуля стоит выражение \(-4x\), а в правой части — положительное число 20, поэтому неравенство равносильно системе неравенств \[\begin{cases}-4x < 20,\\ -4x > -20.\end{cases}\] Эта система равносильна двойному неравенству \(-20 < -4x < 20\). Разделим все его части на отрицательное число \(-4\), поменяв оба знака на противоположные, и запишем результат в порядке возрастания: \[\begin{aligned} -20 &< -4x < 20; \qquad | : (-4) \\ 5 &> x > -5; \\ -5 &< x < 5. \end{aligned}\] Множеством решений неравенства является интервал \((-5; 5)\).
Концы интервала \(-5\) и 5 — целые числа. Количество целых чисел, принадлежащих интервалу с целыми концами, на 1 меньше разности его правого и левого концов: \[5 - (-5) - 1 = 9.\] Действительно, интервалу \((-5; 5)\) принадлежат целые числа \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-1\), 0, 1, 2, 3, 4 — их девять.
Ответ: 9.
