Страница 42 номер 182, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Представим выражение в виде произведения: \[\frac{3x + 2}{1 - 4y} = (3x + 2) \cdot \frac{1}{1 - 4y}.\] Оценим значение каждого из множителей.

Умножим все части неравенства \(-1 \leqslant x \leqslant 1\) на положительное число 3, знаки при этом сохраняются: \(-3 \leqslant 3x \leqslant 3\). Прибавим ко всем частям число 2: \(-1 \leqslant 3x + 2 \leqslant 5\).

Умножим все части неравенства \(-2 \leqslant y \leqslant 0\) на отрицательное число \(-4\), поменяв оба знака на противоположные: \(8 \geqslant -4y \geqslant 0\), то есть \(0 \leqslant -4y \leqslant 8\). Прибавим ко всем частям число 1: \(1 \leqslant 1 - 4y \leqslant 9\). Все части этого неравенства положительны, поэтому при переходе к обратным величинам оба знака меняются на противоположные: \(1 \geqslant \frac{1}{1 - 4y} \geqslant \frac{1}{9}\), то есть \(\frac{1}{9} \leqslant \frac{1}{1 - 4y} \leqslant 1\).

Числитель \(3x + 2\) может быть как отрицательным, так и положительным: у неравенства \(-1 \leqslant 3x + 2 \leqslant 5\) левая часть отрицательна, поэтому перемножать неравенства сразу нельзя. Рассмотрим два случая: \(3x + 2 \leqslant 0\) и \(3x + 2 > 0\).

Если \(-1 \leqslant 3x + 2 \leqslant 0\), то, умножив все части на \(-1\) и поменяв оба знака, получим \(1 \geqslant -3x - 2 \geqslant 0\), то есть \(0 \leqslant -3x - 2 \leqslant 1\). Все части неравенств \(0 \leqslant -3x - 2 \leqslant 1\) и \(\frac{1}{9} \leqslant \frac{1}{1 - 4y} \leqslant 1\) неотрицательны, поэтому их можно перемножить почленно: \[\begin{aligned} 0 \cdot \frac{1}{9} &\leqslant (-3x - 2) \cdot \frac{1}{1 - 4y} \leqslant 1 \cdot 1; \\ 0 &\leqslant -\frac{3x + 2}{1 - 4y} \leqslant 1. \qquad | \cdot (-1) \end{aligned}\] Умножим все части на \(-1\), поменяв оба знака на противоположные: \(0 \geqslant \frac{3x + 2}{1 - 4y} \geqslant -1\), то есть \[-1 \leqslant \frac{3x + 2}{1 - 4y} \leqslant 0.\]

Если \(0 < 3x + 2 \leqslant 5\), то оба множителя \(3x + 2\) и \(\frac{1}{1 - 4y}\) положительны, поэтому их произведение положительно. Перемножим почленно неравенства \(3x + 2 \leqslant 5\) и \(\frac{1}{1 - 4y} \leqslant 1\), все части которых положительны: \((3x + 2) \cdot \frac{1}{1 - 4y} \leqslant 5 \cdot 1\). Значит, \[0 < \frac{3x + 2}{1 - 4y} \leqslant 5.\]

Поскольку \(-1 \leqslant \frac{3x + 2}{1 - 4y} \leqslant 0\) или \(0 < \frac{3x + 2}{1 - 4y} \leqslant 5\), получаем, что \[-1 \leqslant \frac{3x + 2}{1 - 4y} \leqslant 5.\]

Ответ: \(-1 \leqslant \frac{3x + 2}{1 - 4y} \leqslant 5\).