Страница 41 номер 174, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств \[\begin{cases}2x + 2 \ge 0,\\ x \ge 3,\\ x \le 7.\end{cases}\]
Разделим обе части первого неравенства на положительное число 2, знак сохраняется: \[\begin{aligned} 2x + 2 &\geqslant 0; \\ 2x &\geqslant -2; \qquad | : 2 \\ x &\geqslant -1. \end{aligned}\]
Значит, исходная система равносильна системе \[\begin{cases}x \geqslant -1,\\ x \geqslant 3,\\ x \leqslant 7.\end{cases}\]
Если \(x \geqslant 3\), а \(3 > -1\), то \(x > -1\), поэтому пересечение лучей \([3; +\infty)\) и \([-1; +\infty)\) — луч \([3; +\infty)\).
Пересечение лучей \([3; +\infty)\) и \((-\infty; 7]\) — числа, для которых \(3 \leqslant x \leqslant 7\), то есть отрезок \([3; 7]\).
Левый конец 3 дало второе неравенство, правый конец 7 — третье; оба неравенства нестрогие, поэтому концы входят в множество решений системы.
Ответ: \([3; 7]\).
Решите систему неравенств \[\begin{cases}2x + 2 \ge 0,\\ x \ge 3,\\ x \le 7.\end{cases}\]
Решим первое неравенство системы: перенесём 2 в правую часть и разделим обе части на положительное число 2, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 2x + 2 &\geqslant 0; \\ 2x &\geqslant -2; \qquad | : 2 \\ x &\geqslant -1. \end{aligned}\]
Значит, исходная система равносильна системе \[\begin{cases}x \geqslant -1,\\ x \geqslant 3,\\ x \leqslant 7.\end{cases}\]
Каждое число, не меньшее 3, больше \(-1\): если \(x \geqslant 3\), а \(3 > -1\), то \(x > -1\). Значит, все решения второго неравенства удовлетворяют и первому: луч \([3; +\infty)\) содержится в луче \([-1; +\infty)\), и пересечение этих лучей — луч \([3; +\infty)\).
Пересечение лучей \([3; +\infty)\) и \((-\infty; 7]\) — это числа, для которых \(3 \leqslant x \leqslant 7\), то есть отрезок \([3; 7]\). Левый конец 3 дало второе неравенство, правый конец 7 — третье; оба неравенства нестрогие, поэтому оба конца входят в множество решений системы.
Ответ: \([3; 7]\).
