Страница 41 номер 173, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \(|12b - 7| < 5\); б) \(|2a + 9| \ge 11\).
а) Правая часть — положительное число 5, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases}12b - 7 < 5,\\ 12b - 7 > -5.\end{cases}\]
В обоих неравенствах разделим обе части на положительное число 12, знак сохраняется: \[\begin{aligned} 12b - 7 &< 5; \\ 12b &< 12; \qquad | : 12 \\ b &< 1. \\ 12b - 7 &> -5; \\ 12b &> 2; \qquad | : 12 \\ b &> \frac{2}{12}; \\ b &> \frac{1}{6}. \end{aligned}\]
Значит, \(\frac{1}{6} < b < 1\); оба неравенства строгие, поэтому концы не входят в множество решений: это интервал \(\left(\frac{1}{6}; 1\right)\).
б) Правая часть — положительное число 11, поэтому неравенство равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 2a + 9 \geqslant 11 \\ 2a + 9 \leqslant -11. \end{array}\right.\]
В обоих неравенствах разделим обе части на положительное число 2, знак сохраняется: \[\begin{aligned} 2a + 9 &\geqslant 11; \\ 2a &\geqslant 2; \qquad | : 2 \\ a &\geqslant 1. \\ 2a + 9 &\leqslant -11; \\ 2a &\leqslant -20; \qquad | : 2 \\ a &\leqslant -10. \end{aligned}\]
Множество решений совокупности — объединение лучей \((-\infty; -10]\) и \([1; +\infty)\); оба неравенства нестрогие, поэтому концы \(-10\) и 1 входят в множество решений.
Ответ: а) \(\left(\frac{1}{6}; 1\right)\); б) \((-\infty; -10] \cup [1; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \(|12b - 7| < 5\); б) \(|2a + 9| \ge 11\).
а) Правая часть неравенства \(|12b - 7| < 5\) — положительное число 5, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases}12b - 7 < 5,\\ 12b - 7 > -5.\end{cases}\]
Решим первое неравенство: перенесём \(-7\) в правую часть и разделим обе части на положительное число 12, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 12b - 7 &< 5; \\ 12b &< 12; \qquad | : 12 \\ b &< 1. \end{aligned}\]
Решим второе неравенство так же: \[\begin{aligned} 12b - 7 &> -5; \\ 12b &> 2; \qquad | : 12 \\ b &> \frac{2}{12}; \\ b &> \frac{1}{6}. \end{aligned}\]
Получили, что \(b > \frac{1}{6}\) и \(b < 1\), следовательно, \(\frac{1}{6} < b < 1\). Оба неравенства строгие, поэтому концы не входят в множество решений: это интервал \(\left(\frac{1}{6}; 1\right)\).
б) Правая часть неравенства \(|2a + 9| \geqslant 11\) — положительное число 11, поэтому неравенство равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 2a + 9 \geqslant 11 \\ 2a + 9 \leqslant -11. \end{array}\right.\]
Решим первое неравенство: перенесём 9 в правую часть и разделим обе части на положительное число 2, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 2a + 9 &\geqslant 11; \\ 2a &\geqslant 2; \qquad | : 2 \\ a &\geqslant 1. \end{aligned}\]
Решим второе неравенство так же: \[\begin{aligned} 2a + 9 &\leqslant -11; \\ 2a &\leqslant -20; \qquad | : 2 \\ a &\leqslant -10. \end{aligned}\]
Множество решений совокупности — объединение лучей \((-\infty; -10]\) и \([1; +\infty)\). Оба неравенства нестрогие, поэтому концы \(-10\) и 1 входят в множество решений.
Ответ: а) \(\left(\frac{1}{6}; 1\right)\); б) \((-\infty; -10] \cup [1; +\infty)\).
