Страница 40 номер 170, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств \(\begin{cases}4x - 8 \le 0,\\ x \ge -1,\\ x < 10.\end{cases}\)
Разделим обе части первого неравенства на положительное число 4, знак сохраняется: \[\begin{aligned} 4x - 8 &\leqslant 0; \\ 4x &\leqslant 8; \qquad | : 4 \\ x &\leqslant 2. \end{aligned}\]
Множество решений второго неравенства — замкнутый луч \([-1; +\infty)\), третьего — открытый луч \((-\infty; 10)\).
Если \(x \leqslant 2\), а \(2 < 10\), то \(x < 10\), поэтому пересечение лучей \((-\infty; 2]\) и \((-\infty; 10)\) — луч \((-\infty; 2]\).
Пересечение лучей \((-\infty; 2]\) и \([-1; +\infty)\) — числа, для которых \(-1 \leqslant x \leqslant 2\), то есть отрезок \([-1; 2]\).
Левый конец \(-1\) дало второе неравенство, правый конец 2 — первое; оба неравенства нестрогие, поэтому концы входят в множество решений системы.
Ответ: \([-1; 2]\).
Решите систему неравенств \(\begin{cases}4x - 8 \le 0,\\ x \ge -1,\\ x < 10.\end{cases}\)
Решим первое неравенство системы: перенесём \(-8\) в правую часть и разделим обе части на положительное число 4, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 4x - 8 &\leqslant 0; \\ 4x &\leqslant 8; \qquad | : 4 \\ x &\leqslant 2. \end{aligned}\]
Второе и третье неравенства решать не нужно: множеством решений второго является замкнутый луч \([-1; +\infty)\), третьего — открытый луч \((-\infty; 10)\).
Множество решений системы — пересечение множеств решений всех трёх неравенств. Каждое число, не большее 2, меньше 10: если \(x \leqslant 2\), а \(2 < 10\), то \(x < 10\). Значит, все решения первого неравенства удовлетворяют и третьему, и пересечение лучей \((-\infty; 2]\) и \((-\infty; 10)\) — луч \((-\infty; 2]\).
Пересечение лучей \((-\infty; 2]\) и \([-1; +\infty)\) — это числа, для которых \(-1 \leqslant x \leqslant 2\), то есть отрезок \([-1; 2]\). Левый конец \(-1\) дало второе неравенство, правый конец 2 — первое; оба неравенства нестрогие, поэтому оба конца входят в множество решений системы.
Ответ: \([-1; 2]\).
