Страница 40 номер 169, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \(|7b + 6| < 8\); б) \(|2a + 9| \ge 19\).
а) Правая часть — положительное число 8, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases}7b + 6 < 8,\\ 7b + 6 > -8.\end{cases}\]
В обоих неравенствах разделим обе части на положительное число 7, знак сохраняется: \[\begin{aligned} 7b + 6 &< 8; \\ 7b &< 2; \qquad | : 7 \\ b &< \frac{2}{7}. \\ 7b + 6 &> -8; \\ 7b &> -14; \qquad | : 7 \\ b &> -2. \end{aligned}\]
Значит, \(-2 < b < \frac{2}{7}\); оба неравенства строгие, поэтому концы не входят в множество решений: это интервал \(\left(-2; \frac{2}{7}\right)\).
б) Правая часть — положительное число 19, поэтому неравенство равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 2a + 9 \geqslant 19 \\ 2a + 9 \leqslant -19. \end{array}\right.\]
В обоих неравенствах разделим обе части на положительное число 2, знак сохраняется: \[\begin{aligned} 2a + 9 &\geqslant 19; \\ 2a &\geqslant 10; \qquad | : 2 \\ a &\geqslant 5. \\ 2a + 9 &\leqslant -19; \\ 2a &\leqslant -28; \qquad | : 2 \\ a &\leqslant -14. \end{aligned}\]
Множество решений совокупности — объединение лучей \((-\infty; -14]\) и \([5; +\infty)\); оба неравенства нестрогие, поэтому концы \(-14\) и 5 входят в множество решений.
Ответ: а) \(\left(-2; \frac{2}{7}\right)\); б) \((-\infty; -14] \cup [5; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \(|7b + 6| < 8\); б) \(|2a + 9| \ge 19\).
а) Правая часть неравенства \(|7b + 6| < 8\) — положительное число 8, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases}7b + 6 < 8,\\ 7b + 6 > -8.\end{cases}\]
Решим первое неравенство: перенесём 6 в правую часть и разделим обе части на положительное число 7, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 7b + 6 &< 8; \\ 7b &< 2; \qquad | : 7 \\ b &< \frac{2}{7}. \end{aligned}\]
Решим второе неравенство так же: \[\begin{aligned} 7b + 6 &> -8; \\ 7b &> -14; \qquad | : 7 \\ b &> -2. \end{aligned}\]
Получили, что \(b > -2\) и \(b < \frac{2}{7}\), следовательно, \(-2 < b < \frac{2}{7}\). Оба неравенства строгие, поэтому концы не входят в множество решений: это интервал \(\left(-2; \frac{2}{7}\right)\).
б) Правая часть неравенства \(|2a + 9| \geqslant 19\) — положительное число 19, поэтому неравенство равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 2a + 9 \geqslant 19 \\ 2a + 9 \leqslant -19. \end{array}\right.\]
Решим первое неравенство: перенесём 9 в правую часть и разделим обе части на положительное число 2, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 2a + 9 &\geqslant 19; \\ 2a &\geqslant 10; \qquad | : 2 \\ a &\geqslant 5. \end{aligned}\]
Решим второе неравенство так же: \[\begin{aligned} 2a + 9 &\leqslant -19; \\ 2a &\leqslant -28; \qquad | : 2 \\ a &\leqslant -14. \end{aligned}\]
Множество решений совокупности — объединение лучей \((-\infty; -14]\) и \([5; +\infty)\). Оба неравенства нестрогие, поэтому концы \(-14\) и 5 входят в множество решений.
Ответ: а) \(\left(-2; \frac{2}{7}\right)\); б) \((-\infty; -14] \cup [5; +\infty)\).
