Страница 40 номер 167, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \(|x| < 12\); б) \(|5x - 9| \le 19\).
а) Правая часть — положительное число 12, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases}x < 12,\\ x > -12.\end{cases}\]
Множество решений системы — интервал \((-12; 12)\): оба неравенства строгие, поэтому концы \(-12\) и \(12\) ему не принадлежат.
б) Правая часть — положительное число 19, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases}5x - 9 \leqslant 19,\\ 5x - 9 \geqslant -19.\end{cases}\]
В обоих неравенствах разделим обе части на положительное число 5, знак сохраняется: \[\begin{aligned} 5x - 9 &\leqslant 19; \\ 5x &\leqslant 28; \qquad | : 5 \\ x &\leqslant 5{,}6. \\ 5x - 9 &\geqslant -19; \\ 5x &\geqslant -10; \qquad | : 5 \\ x &\geqslant -2. \end{aligned}\]
Значит, \(-2 \leqslant x \leqslant 5{,}6\); оба неравенства нестрогие, поэтому концы входят в множество решений: это отрезок \([-2; 5{,}6]\).
Ответ: а) \((-12; 12)\); б) \([-2; 5{,}6]\).
Решите неравенство: а) \(|x| < 12\); б) \(|5x - 9| \le 19\).
а) Правая часть неравенства \(|x| < 12\) — положительное число 12, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases}x < 12,\\ x > -12.\end{cases}\]
Множеством решений системы является интервал \((-12; 12)\): оба неравенства строгие, поэтому концы \(-12\) и \(12\) ему не принадлежат.
б) Правая часть неравенства \(|5x - 9| \leqslant 19\) — положительное число 19, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases}5x - 9 \leqslant 19,\\ 5x - 9 \geqslant -19.\end{cases}\]
Решим первое неравенство: перенесём \(-9\) в правую часть и разделим обе части на положительное число 5, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 5x - 9 &\leqslant 19; \\ 5x &\leqslant 28; \qquad | : 5 \\ x &\leqslant 5{,}6. \end{aligned}\]
Решим второе неравенство так же: \[\begin{aligned} 5x - 9 &\geqslant -19; \\ 5x &\geqslant -10; \qquad | : 5 \\ x &\geqslant -2. \end{aligned}\]
Получили, что \(x \geqslant -2\) и \(x \leqslant 5{,}6\), следовательно, \(-2 \leqslant x \leqslant 5{,}6\). Оба неравенства нестрогие, поэтому концы входят в множество решений: это отрезок \([-2; 5{,}6]\).
Ответ: а) \((-12; 12)\); б) \([-2; 5{,}6]\).
