Страница 37 номер 156, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Изобразите на числовой прямой множество решений совокупности неравенств \[\left[\begin{array}{l} 6x + 5 \le -1 \\ 4x + 7 < -5. \end{array}\right.\]
Делим на положительные числа 6 и 4, знаки сохраняются: \[\begin{aligned} 6x + 5 &\leqslant -1; \\ 6x &\leqslant -6; \qquad | : 6 \\ x &\leqslant -1. \\ 4x + 7 &< -5; \\ 4x &< -12; \qquad | : 4 \\ x &< -3. \end{aligned}\]
Решения совокупности — объединение лучей \((-\infty; -1]\) и \((-\infty; -3)\). Если \(x < -3\) и \(-3 < -1\), то \(x < -1\): луч \((-\infty; -3)\) целиком содержится в луче \((-\infty; -1]\), и объединение — луч \((-\infty; -1]\). Число \(-1\) входит — оно удовлетворяет нестрогому неравенству \(x \leqslant -1\).
Ответ: \((-\infty; -1]\).
Изобразите на числовой прямой множество решений совокупности неравенств \[\left[\begin{array}{l} 6x + 5 \le -1 \\ 4x + 7 < -5. \end{array}\right.\]
Решим первое неравенство: перенесём слагаемое 5 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 6: \[\begin{aligned} 6x + 5 &\leqslant -1; \\ 6x &\leqslant -6; \qquad | : 6 \\ x &\leqslant -1. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: перенесём слагаемое 7 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 4: \[\begin{aligned} 4x + 7 &< -5; \\ 4x &< -12; \qquad | : 4 \\ x &< -3. \end{aligned}\] Множество решений совокупности — объединение лучей \((-\infty; -1]\) и \((-\infty; -3)\). Оба луча направлены влево. Каждое число луча \((-\infty; -3)\) меньше \(-1\): если \(x < -3\) и \(-3 < -1\), то \(x < -1\). Значит, луч \((-\infty; -3)\) целиком содержится в луче \((-\infty; -1]\), и объединение лучей — луч \((-\infty; -1]\). Число \(-1\) в него входит, так как оно удовлетворяет нестрогому неравенству \(x \leqslant -1\). Изобразим множество решений совокупности на числовой прямой:
Ответ: \((-\infty; -1]\).
