Страница 37 номер 151, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
а) Делим на положительные числа 5 и 4, знаки сохраняются: \[\begin{aligned} 5x + 2 &> -25; \\ 5x &> -27; \qquad | : 5 \\ x &> -5{,}4. \\ 4x + 6 &\geqslant -6; \\ 4x &\geqslant -12; \qquad | : 4 \\ x &\geqslant -3. \end{aligned}\]
Решения совокупности — объединение лучей \((-5{,}4; +\infty)\) и \([-3; +\infty)\). Если \(x \geqslant -3\) и \(-3 > -5{,}4\), то \(x > -5{,}4\): луч \([-3; +\infty)\) целиком содержится в луче \((-5{,}4; +\infty)\), и объединение — луч \((-5{,}4; +\infty)\). Число \(-5{,}4\) не входит — оно не удовлетворяет ни строгому неравенству \(x > -5{,}4\), ни неравенству \(x \geqslant -3\).
б) Делим на положительные числа 4 и 5, знаки сохраняются: \[\begin{aligned} 4x + 7 &< -9; \\ 4x &< -16; \qquad | : 4 \\ x &< -4. \\ 5x + 1 &> -4; \\ 5x &> -5; \qquad | : 5 \\ x &> -1. \end{aligned}\]
Решения совокупности — объединение лучей: \((-\infty; -4) \cup (-1; +\infty)\). Число \(-4\) не входит — оно не удовлетворяет ни строгому неравенству \(x < -4\), ни неравенству \(x > -1\). Число \(-1\) тоже не входит — оно не удовлетворяет ни строгому неравенству \(x > -1\), ни неравенству \(x < -4\). Числа между \(-4\) и \(-1\) не удовлетворяют ни одному из неравенств.
в) Решения первого неравенства — луч \((-\infty; 8)\).
Второе неравенство делим на отрицательное число \(-9\), знак меняется на противоположный: \[\begin{aligned} -9x &< -18; \qquad | : (-9) \\ x &> 2. \end{aligned}\]
Решения совокупности — объединение лучей \((-\infty; 8)\) и \((2; +\infty)\). Любое число удовлетворяет хотя бы одному из неравенств: если \(x < 8\), то верно первое неравенство, а если \(x \geqslant 8\), то \(x > 2\), так как \(8 > 2\), и верно второе. Значит, множество решений совокупности — вся числовая прямая.
Ответ: а) \((-5{,}4; +\infty)\); б) \((-\infty; -4) \cup (-1; +\infty)\); в) \((-\infty; +\infty)\).
а) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое 2 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 5: \[\begin{aligned} 5x + 2 &> -25; \\ 5x &> -27; \qquad | : 5 \\ x &> -5{,}4. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: перенесём слагаемое 6 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 4: \[\begin{aligned} 4x + 6 &\geqslant -6; \\ 4x &\geqslant -12; \qquad | : 4 \\ x &\geqslant -3. \end{aligned}\] Изобразим лучи \((-5{,}4; +\infty)\) и \([-3; +\infty)\) на одной числовой прямой:
Множеством решений совокупности является объединение этих лучей. Оба луча направлены вправо. Каждое число луча \([-3; +\infty)\) больше \(-5{,}4\): если \(x \geqslant -3\) и \(-3 > -5{,}4\), то \(x > -5{,}4\). Значит, луч \([-3; +\infty)\) целиком содержится в луче \((-5{,}4; +\infty)\), и объединение лучей — луч \((-5{,}4; +\infty)\). Число \(-5{,}4\) в него не входит: оно не удовлетворяет ни строгому неравенству \(x > -5{,}4\), ни неравенству \(x \geqslant -3\).
б) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое 7 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 4: \[\begin{aligned} 4x + 7 &< -9; \\ 4x &< -16; \qquad | : 4 \\ x &< -4. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: перенесём слагаемое 1 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 5: \[\begin{aligned} 5x + 1 &> -4; \\ 5x &> -5; \qquad | : 5 \\ x &> -1. \end{aligned}\] Изобразим лучи \((-\infty; -4)\) и \((-1; +\infty)\) на одной числовой прямой:
Множеством решений совокупности является объединение этих лучей, то есть множество \((-\infty; -4) \cup (-1; +\infty)\). Число \(-4\) в него не входит: оно не удовлетворяет ни строгому неравенству \(x < -4\), ни неравенству \(x > -1\). Число \(-1\) тоже не входит: оно не удовлетворяет ни строгому неравенству \(x > -1\), ни неравенству \(x < -4\). Числа между \(-4\) и \(-1\) не удовлетворяют ни одному из неравенств.
в) Множеством решений первого неравенства \(x < 8\) является луч \((-\infty; 8)\). Решим второе неравенство, разделив обе его части на отрицательное число \(-9\) и поменяв знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -9x &< -18; \qquad | : (-9) \\ x &> 2. \end{aligned}\] Изобразим лучи \((-\infty; 8)\) и \((2; +\infty)\) на одной числовой прямой:
Множеством решений совокупности является объединение этих лучей. Любое число удовлетворяет хотя бы одному из неравенств: если \(x < 8\), то верно первое неравенство, а если \(x \geqslant 8\), то \(x > 2\), так как \(8 > 2\), и верно второе неравенство. Значит, множество решений совокупности — вся числовая прямая.
Ответ: а) \((-5{,}4; +\infty)\); б) \((-\infty; -4) \cup (-1; +\infty)\); в) \((-\infty; +\infty)\).
