Страница 37 номер 148, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств \[\begin{cases}4x + 9 > 21,\\ 3x + 2 \le 17\end{cases}\] и укажите все целые числа, которые являются её решениями.
Делим на положительные числа 4 и 3, знаки сохраняются: \[\begin{aligned} 4x + 9 &> 21; \\ 4x &> 12; \qquad | : 4 \\ x &> 3. \\ 3x + 2 &\leqslant 17; \\ 3x &\leqslant 15; \qquad | : 3 \\ x &\leqslant 5. \end{aligned}\]
Решения системы — пересечение промежутков: \(3 < x \leqslant 5\); число 3 не входит (неравенство \(x > 3\) строгое), число 5 входит (неравенство \(x \leqslant 5\) нестрогое). Значит, это полуинтервал \((3; 5]\).
Целые числа полуинтервала \((3; 5]\) — большие 3 и не большие 5: 4 и 5.
Ответ: \((3; 5]\); целые решения: 4, 5.
Решите систему неравенств \[\begin{cases}4x + 9 > 21,\\ 3x + 2 \le 17\end{cases}\] и укажите все целые числа, которые являются её решениями.
Решим первое неравенство: перенесём слагаемое 9 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 4: \[\begin{aligned} 4x + 9 &> 21; \\ 4x &> 12; \qquad | : 4 \\ x &> 3. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: перенесём слагаемое 2 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 3: \[\begin{aligned} 3x + 2 &\leqslant 17; \\ 3x &\leqslant 15; \qquad | : 3 \\ x &\leqslant 5. \end{aligned}\] Изобразим промежутки \((3; +\infty)\) и \((-\infty; 5]\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(3 < x \leqslant 5\). Левый конец — число 3 из первого неравенства; неравенство \(x > 3\) строгое, поэтому число 3 в множество решений не входит. Правый конец — число 5 из второго неравенства; неравенство \(x \leqslant 5\) нестрогое, поэтому число 5 входит. Значит, множеством решений системы является полуинтервал \((3; 5]\).
Целые числа, принадлежащие полуинтервалу \((3; 5]\), — это целые числа, большие 3 и не большие 5: 4 и 5.
Ответ: \((3; 5]\); целые решения: 4, 5.
